Så pi er knyttet til cirkler, ikke sandt? Man kan definere pi på forskellige måder, der ikke åbenbart involverer cirkler, men i sidste ende giver det mest mening at gå tilbage til at sige, at det er forholdet mellem omkreds og diameter, eller halvdelen af omkredsen af en cirkel med radius 1. Lad mig prøve at give dig et andet perspektiv på omkreds og cirkler. På et eller andet tidspunkt er det hele bare “fordi det er sådan, cirkler opfører sig i euklidisk geometri”.

Det lyder ikke særlig hjælpsomt indtil videre. Hvorfor skulle halvdelen af omkredsen af en enhedscirkel være dette mærkelige tal? Nå, men lad os gå ind i matematikkens indvolde og spørge, hvad en enhedscirkel egentlig er. Det er en samling af punkter, der ligger præcis i afstand 1 fra et fast punkt, f.eks. (0,0). Okay, men hvad betyder “afstand” egentlig? Det er her, det bliver interessant. I den almindelige euklidiske geometri måler vi afstanden mellem (x1,y1) og (x2,y2) som ^(1/2), da det synes at svare nogenlunde til vores intuitive opfattelse af afstand i den virkelige verden. Men hvad laver de 2’er derinde? Er de nødt til at være der? Den eneste indlysende grund til at kvadrere tingene er at sikre, at afstanden altid bliver positiv, og der er helt sikkert andre måder at gøre det på, som kan give andre fornuftige opfattelser af “afstand”, som er udstyret med deres egen version af enhedscirklen og dermed deres egen version af pi…

Det er sådan, mange ting i matematik fungerer. Man starter med noget man kender, forsøger at generalisere det til en mere abstrakt version, og begynder så at pille ved delene for at se hvad der sker. Hvordan kan vi ellers sikre, at “afstand” altid er et positivt tal, ud over at kvadrere? Absolut værdi, selvfølgelig! Hvad hvis man definerer afstanden mellem (x1,y2) og (x2,y2) til at være |x1-x2|+|y1-y2|? Enhedscirklen bliver til “punkter (x,y) sådan at |x-0|+|y-0|=1”, eller “punkter (x,y) med |x|+|y|=1”. Det er en diamant! Pludselig har vores enheds-“cirkel” fire punkter ved (±1,0) og (0,±1), der er forbundet af linjer af længden sqrt(2), og vi får en anden værdi af “pi”! Forholdet mellem omkreds og diameter er i denne situation ikke 3,14159… men 2*sqrt(2), eller 2,82843…

Hvordan kan vi forbinde vores sædvanlige begreb om afstand, ^(1/2), med dette nye begreb? Vi skal bare skrive det som ^(1/p). Det sædvanlige afstandsbegreb er tilfældet p=2, og det nye begreb, som vi lige har opfundet, er tilfældet p=1. (Du skal ikke bekymre dig om, hvorfor jeg har valgt bogstavet p til at repræsentere dette, men det var ikke vilkårligt). Nu er vi ved at komme videre.

Hvad sker der for andre værdier af p? Det viser sig, at man får noget i stil med dette. Enhedscirklen i denne p-værdiversion af afstand starter som en diamant med punkterne i (±1,0) og (0,±1), og efterhånden som p stiger, begynder den langsomt at blive afrundet og udvidet, som om den var en ballon, der blev pustet op. Ved p=2 danner den en cirkel, og for højere og højere værdier af p begynder den mere og mere at ligne et kvadrat med afrundede hjørner. Hjørnerne bliver skarpere og skarpere, efterhånden som p øges, og det viser sig, at der er en nem måde at definere tilfældet “p=uendelig” på en sådan måde, at man får enhedscirklen til at være et kvadrat med punkterne i (±1,±1). (Det eneste man skal gøre er at definere “afstand” som enten |x1-x2| eller |y1-y2|, alt efter hvilket tal der er størst). I denne sidste uendelige version skal du bemærke, at enheden “cirkel” har “omkreds” 8 og diameter 2, så “pi” i den sammenhæng ville være præcis 4. Du kan endda bruge værdier af p mellem 0 og 1, og enheden “cirkel” begynder at skrumpe ind igen og danner en form som en firespidset stjerne, hvor punkterne stadig ligger på (±1,0) og (0,±1), men hvor siderne, der forbinder dem, bøjer sig stadig skarpere indad.

Det er meget sejt. Alt efter hvilken værdi af p man vælger for at definere “afstand” i koordinatplanet, får man en anden værdi af “pi”, forholdet mellem omkreds og diameter, der starter med 2,82843… ved p=1, stiger til 3,14159… ved p=2 osv. og stiger en lille smule mere for hver gang man øger p og kommer tættere og tættere på 4.