Deci pi este legat de cercuri, nu? Puteți defini pi în diferite moduri care nu implică în mod evident cercuri, dar în cele din urmă are cel mai mult sens să ne întoarcem la a spune că este raportul dintre circumferință și diametru, sau jumătate din circumferința unui cerc cu raza 1. Permiteți-mi să încerc să vă ofer o perspectivă diferită asupra circumferinței și cercurilor. La un moment dat, totul se reduce la „pentru că așa se comportă cercurile în geometria euclidiană”.

Acesta nu pare foarte util până acum. De ce ar trebui ca jumătate din circumferința unui cerc unitar să fie acest număr ciudat? Ei bine, haideți să intrăm în măruntaiele matematicii și să ne întrebăm ce este cu adevărat un cerc unitar. Este colecția de puncte care se află exact la distanța 1 față de un punct fix, să zicem (0,0). Bine, dar ce înseamnă cu adevărat „distanță”? Aici devine interesant. În geometria euclidiană obișnuită, măsurăm distanța dintre (x1,y1) și (x2,y2) ca ^(1/2), deoarece acest lucru pare să corespundă aproximativ cu noțiunea noastră intuitivă de distanță în lumea reală. Dar ce caută acei 2 acolo? Chiar trebuie să fie acolo? Singurul motiv evident pentru a ridica lucrurile la pătrat este pentru a ne asigura că distanța iese întotdeauna pozitivă și, cu siguranță, există și alte moduri de a face acest lucru, care ar putea da alte noțiuni sensibile de „distanță”, care vin echipate cu propria lor versiune a cercului unitar și, prin urmare, cu propria lor versiune a lui pi…

Acesta este modul în care funcționează multe lucruri în matematică. Începi cu ceva ce știi, încerci să generalizezi într-o versiune mai abstractă și apoi începi să te joci cu părțile pentru a vedea ce se întâmplă. Cum altfel am putea să ne asigurăm că „distanța” este întotdeauna un număr pozitiv, în afară de ridicarea la pătrat? Valoarea absolută, bineînțeles! Ce se întâmplă dacă se definește distanța dintre (x1,y2) și (x2,y2) ca fiind |x1-x2|+|y1-y2|? Cercul unitar devine „puncte (x,y) astfel încât |x-0|+|y-0|=1”, sau „puncte (x,y) cu |x|+|y|=1”. Acesta este un diamant! Dintr-o dată, „cercul” nostru unitar are patru puncte la (±1,0) și (0,±1) conectate prin linii de lungime sqrt(2), iar noi obținem o valoare diferită a lui „pi”! Raportul dintre circumferință și diametru în acest cadru nu este 3,14159… ci 2*sqrt(2), sau 2,82843…

Cum putem conecta noțiunea noastră obișnuită de distanță, ^(1/2), cu această nouă noțiune? Scrieți-o pur și simplu ca ^(1/p). Noțiunea obișnuită de distanță este cazul p=2, iar cea nouă pe care tocmai am inventat-o este cazul p=1. (Nu vă faceți griji cu privire la motivul pentru care am ales litera p pentru a reprezenta acest lucru, dar nu a fost arbitrar). Acum ajungem undeva.

Ce se întâmplă pentru alte valori ale lui p? Se pare că se obține ceva de genul acesta. Cercul unitar în această versiune a distanței cu valoare p începe ca un diamant cu vârfurile sale la (±1,0) și (0,±1), iar pe măsură ce p crește, începe încet să se rotunjească și să se extindă, ca și cum ar fi un balon care se umflă. La p=2, formează un cerc, iar pentru valori din ce în ce mai mari ale lui p începe să semene mai mult cu un pătrat cu colțuri rotunjite. Colțurile devin din ce în ce mai ascuțite pe măsură ce p crește și se pare că există o modalitate ușoară de a defini cazul „p=infinit” în așa fel încât cercul unitar să fie un pătrat cu vârfurile sale la (±1,±1). (Tot ce trebuie să faceți este să definiți „distanța” ca fiind fie |x1-x2|, fie |y1-y2|, oricare dintre aceste numere este mai mare). În această ultimă versiune infinită, observați că unitatea „cerc” are „circumferința” 8 și diametrul 2, astfel încât „pi” în acest context ar fi exact 4. Puteți chiar să folosiți valori ale lui p între 0 și 1, iar unitatea „cerc” începe să se micșoreze din nou, formând o formă asemănătoare unei stele cu patru vârfuri, cu vârfurile tot la (±1,0) și (0,±1), dar cu laturile care le conectează îndoindu-se din ce în ce mai brusc spre interior.

Este foarte tare. În funcție de valoarea lui p pe care o alegeți pentru a defini „distanța” în planul coordonatelor, obțineți o valoare diferită a lui „pi”, raportul dintre circumferință și diametru, începând cu 2,82843… la p=1, crescând la 3,14159… la p=2, și așa mai departe, crescând un pic mai mult de fiecare dată când crește p și apropiindu-se tot mai mult de 4.

.