Pi on siis sidoksissa ympyröihin, eikö? Pi:n voi määritellä monin eri tavoin, jotka eivät ilmeisesti liity ympyröihin, mutta loppujen lopuksi on järkevintä palata sanomaan, että se on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde, eli puolet ympyrän kehästä, jonka säde on 1. Yritän antaa sinulle erilaisen näkökulman ympärysmittaan ja ympyröihin. Jossain vaiheessa tämä kaikki johtaa vain siihen, että ”koska näin ympyrät käyttäytyvät euklidisessa geometriassa”.”

Tämä ei kuulosta kovin hyödylliseltä toistaiseksi. Miksi puolet yksikköympyrän kehästä olisi tämä outo luku? No, astutaanpa matematiikan uumeniin ja kysytään, mikä yksikköympyrä oikeasti on. Se on kokoelma pisteitä, jotka ovat täsmälleen etäisyydellä 1 kiinteästä pisteestä, vaikkapa (0,0). Okei, mutta mitä ”etäisyys” oikeastaan tarkoittaa? Tässä kohtaa asia muuttuu mielenkiintoiseksi. Tavallisessa euklidisessa geometriassa mittaamme pisteiden (x1,y1) ja (x2,y2) välisen etäisyyden arvona ^(1/2), koska se näyttää suurin piirtein vastaavan intuitiivista käsitystämme etäisyydestä todellisessa maailmassa. Mutta mitä nuo 2:t siellä tekevät? Onko niiden pakko olla siellä? Ainoa ilmeinen syy asioiden neliöimiseen on varmistaa, että etäisyys on aina positiivinen, ja varmasti on muitakin tapoja tehdä se, jotka saattavat antaa muita järkeviä käsityksiä ”etäisyydestä”, jotka ovat varustettu omalla versiollaan yksikköympyrästä ja siten omalla versiollaan piistä…

Näin toimii moni asia matematiikassa. Aloitetaan jostain tutusta, yritetään yleistää se abstraktimmaksi versioksi, ja sitten aletaan näpelöidä osia ja katsoa mitä tapahtuu. Miten muuten voisimme varmistaa, että ”etäisyys” on aina positiivinen luku, muuten kuin neliöimällä? Absoluuttinen arvo, tietenkin! Entä jos määritellään, että (x1,y2) ja (x2,y2) välinen etäisyys on |x1-x2|+|y1-y2|? Yksikköympyrästä tulee ”pisteet (x,y), joissa |x-0|+|y-0|=1” tai ”pisteet (x,y), joissa |x|+|y|=1”. Se on timantti! Yhtäkkiä yksikköympyrässämme on neljä pistettä pisteissä (±1,0) ja (0,±1), joita yhdistävät suorat, joiden pituus on sqrt(2), ja saamme eri arvon ”piille”! Ympyrän ja halkaisijan suhde tässä tilanteessa ei ole 3,14159… vaan 2*sqrt(2) eli 2,82843…

Miten voimme yhdistää tavanomaisen etäisyyskäsityksemme, ^(1/2), tähän uuteen käsitykseen? Kirjoitetaan se vain ^(1/p). Tavallinen etäisyyden käsite on p=2-tapaus, ja juuri keksimämme uusi käsite on p=1-tapaus. (Älkää miettikö, miksi valitsin p-kirjaimen kuvaamaan tätä, mutta se ei ollut sattumanvaraista). Nyt pääsemme jonnekin.

Mitä tapahtuu muilla p:n arvoilla? Osoittautuu, että saat jotain tällaista. Yksikköympyrä tässä p-arvoisessa etäisyyden versiossa alkaa timanttina, jonka pisteet ovat pisteissä (±1,0) ja (0,±1), ja p:n kasvaessa se alkaa hitaasti pyöristyä ja laajeta, ikään kuin se olisi ilmapallo, jota puhalletaan. Kun p=2, se muodostaa ympyrän, ja yhä suuremmilla p:n arvoilla se alkaa näyttää enemmän neliöltä, jonka kulmat ovat pyöristetyt. Kulmat terävöityvät ja terävöityvät p:n kasvaessa, ja käy ilmi, että on helppo tapa määritellä tapaus ”p = ääretön” siten, että yksikköympyrä on neliö, jonka pisteet ovat (±1,±1). (Sinun tarvitsee vain määritellä ”etäisyydeksi” joko |x1-x2| tai |y1-y2|, sen mukaan kumpi luku on suurempi.) Tässä viimeisessä äärettömässä versiossa huomaa, että yksikön ”ympyrän” ”ympärysmitta” on 8 ja halkaisija 2, joten ”pi” olisi tässä yhteydessä täsmälleen 4. Voit jopa käyttää p:n arvoja 0:n ja 1:n välillä, jolloin yksikön ”ympyrä” alkaa kutistua takaisin sisäänpäin muodostaen nelipistemäisen tähden kaltaisen muodon, jossa pisteet ovat edelleen pisteissä (±1,0) ja (0,±1), mutta sivut, jotka yhdistävät ne, taipuvat aina vain jyrkemmiksi sisään päin.

Tämä on todella siistiä. Riippuen siitä, minkä p:n arvon valitset määrittelemään ”etäisyyden” koordinaattitasossa, saat eri arvon ”pi:lle”, kehän ja halkaisijan suhteelle, alkaen arvosta 2,82843… arvolla p=1, kasvaen arvoon 3,14159… arvolla p=2 ja niin edelleen, kasvaen hieman enemmän joka kerta, kun kasvatat p:tä, ja lähestyen yhä lähemmäs ja lähemmäs arvoa 4.