Donc pi est lié aux cercles, non ? Vous pouvez définir pi de diverses manières qui n’impliquent pas évidemment les cercles, mais finalement, il est plus logique de revenir à dire que c’est le rapport entre la circonférence et le diamètre, ou la moitié de la circonférence d’un cercle de rayon 1. Laissez-moi essayer de vous donner une autre perspective sur la circonférence et les cercles. À un moment donné, tout cela se résume à « parce que c’est ainsi que les cercles se comportent en géométrie euclidienne ».

Cela ne semble pas très utile jusqu’à présent. Pourquoi la moitié de la circonférence d’un cercle unitaire devrait-elle être ce nombre étrange ? Eh bien, entrons dans les entrailles des mathématiques et demandons ce qu’est réellement un cercle unitaire. C’est l’ensemble des points qui sont exactement à la distance 1 d’un point fixe, disons (0,0). D’accord, mais que signifie réellement le mot « distance » ? C’est là que ça devient intéressant. En géométrie euclidienne ordinaire, nous mesurons la distance entre (x1,y1) et (x2,y2) comme ^(1/2), puisque cela semble correspondre à peu près à notre notion intuitive de la distance dans le monde réel. Mais que font ces 2 là-dedans ? Ont-ils besoin d’être là ? La seule raison évidente d’élever les choses au carré est de s’assurer que la distance sort toujours positive, et il existe certainement d’autres façons de le faire, qui pourraient donner d’autres notions sensibles de « distance », qui viennent équipées de leur propre version du cercle unitaire, et donc de leur propre version de pi…

C’est ainsi que beaucoup de choses en mathématiques fonctionnent. Vous commencez avec quelque chose que vous connaissez, vous essayez de le généraliser à une version plus abstraite, et puis vous commencez à tripoter les parties pour voir ce qui se passe. Comment faire en sorte que la « distance » soit toujours un nombre positif, autrement qu’en l’élevant au carré ? La valeur absolue, bien sûr ! Et si vous définissiez la distance entre (x1,y2) et (x2,y2) comme étant |x1-x2|+|y1-y2| ? Le cercle unitaire devient « points (x,y) tels que |x-0|+|y-0|=1 », ou « points (x,y) avec |x|+|y|=1 ». C’est un diamant ! Tout à coup, notre « cercle » unitaire a quatre points à (±1,0) et (0,±1) reliés par des lignes de longueur sqrt(2), et nous obtenons une valeur différente de « pi » ! Le rapport entre la circonférence et le diamètre dans ce cadre n’est pas 3,14159… mais 2*sqrt(2), ou 2,82843…

Comment pouvons-nous relier notre notion habituelle de distance, ^(1/2), à cette nouvelle notion ? Il suffit de l’écrire sous la forme ^(1/p). La notion habituelle de distance est le cas p=2, et la nouvelle que nous venons d’inventer est le cas p=1. (Ne vous inquiétez pas de savoir pourquoi j’ai choisi la lettre p pour représenter cela, mais ce n’était pas arbitraire). Maintenant, nous arrivons à quelque chose.

Que se passe-t-il pour d’autres valeurs de p ? Il s’avère que vous obtenez quelque chose comme ceci. Le cercle unitaire dans cette version p-valué de la distance commence comme un diamant avec ses points à (±1,0) et (0,±1), et au fur et à mesure que p augmente, il commence lentement à s’arrondir et à s’étendre, comme s’il s’agissait d’un ballon que l’on gonfle. À p=2, elle forme un cercle, et pour des valeurs de p de plus en plus élevées, elle commence à ressembler davantage à un carré aux coins arrondis. Les angles deviennent de plus en plus nets à mesure que p augmente, et il s’avère qu’il existe un moyen facile de définir le cas « p=infini » de telle sorte que le cercle unitaire soit un carré dont les points sont situés à (±1,±1). (Tout ce que vous avez à faire est de définir la « distance » comme étant soit |x1-x2| soit |y1-y2|, le nombre le plus grand étant retenu). Dans cette dernière version infinie, remarquez que l’unité « cercle » a une « circonférence » de 8 et un diamètre de 2, donc « pi » dans ce contexte serait exactement 4. Vous pouvez même utiliser des valeurs de p entre 0 et 1, et l’unité « cercle » commence à se rétrécir à nouveau, formant une forme comme une étoile à quatre branches, avec les points toujours à (±1,0) et (0,±1) mais les côtés les reliant se courbant vers l’intérieur de plus en plus fortement.

C’est très cool. Selon la valeur de p que l’on choisit pour définir la « distance » dans le plan de coordonnées, on obtient une valeur différente de « pi », le rapport de la circonférence au diamètre, qui commence par 2,82843… à p=1, passe à 3,14159… à p=2, et ainsi de suite, augmentant un peu plus chaque fois que l’on augmente p et se rapprochant de plus en plus de 4.

.