Dus pi is verbonden met cirkels, toch? Je kunt pi op verschillende manieren definiëren die niet noodzakelijkerwijs met cirkels te maken hebben, maar uiteindelijk is het het meest logisch om terug te gaan naar de verhouding tussen omtrek en diameter, oftewel de helft van de omtrek van een cirkel met straal 1. Laat me proberen u een andere kijk op omtrek en cirkels te geven. Op een gegeven moment komt dit allemaal neer op “omdat dat is hoe cirkels zich gedragen in de Euclidische meetkunde”.

Dat klinkt tot nu toe niet erg behulpzaam. Waarom zou de helft van de omtrek van een eenheidscirkel dit vreemde getal zijn? Laten we eens in het hart van de wiskunde duiken en vragen wat een eenheidscirkel eigenlijk is. Het is de verzameling van punten die precies afstand 1 zijn van een vast punt, zeg (0,0). Oké, maar wat betekent “afstand” eigenlijk? Hier wordt het interessant. In de gewone euclidische meetkunde meten we de afstand tussen (x1,y1) en (x2,y2) als ^(1/2), omdat dat ongeveer overeen lijkt te komen met ons intuïtief begrip van afstand in de echte wereld. Maar wat doen die 2’en daar? Moeten ze daar staan? De enige voor de hand liggende reden om alles te kwadrateren is om zeker te zijn dat de afstand altijd positief is, en er zijn zeker andere manieren om dat te doen, die misschien andere zinnige noties van “afstand” geven, die uitgerust zijn met hun eigen versie van de eenheidscirkel, en dus hun eigen versie van pi…

Dit is hoe veel dingen in de wiskunde werken. Je begint met iets dat je kent, probeert het te veralgemenen tot een meer abstracte versie, en begint dan te rommelen met de onderdelen om te zien wat er gebeurt. Hoe kunnen we er anders voor zorgen dat “afstand” altijd een positief getal is, anders dan kwadrateren? Absolute waarde, natuurlijk! Wat als je de afstand tussen (x1,y2) en (x2,y2) definieert als |x1-x2|+|y1-y2|? De eenheidscirkel wordt dan “punten (x,y) zo dat |x-0|+|y-0|=1”, of “punten (x,y) met |x|+|y|=1”. Dat is een ruit! Opeens heeft onze eenheids “cirkel” vier punten op (±1,0) en (0,±1) verbonden door lijnen van lengte sqrt(2), en krijgen we een andere waarde van “pi”! De verhouding van omtrek tot diameter is in deze setting niet 3,14159… maar 2*sqrt(2), ofwel 2,82843…

Hoe kunnen we ons gebruikelijke begrip van afstand, ^(1/2), verbinden met dit nieuwe begrip? Schrijf het gewoon als ^(1/p). Het gebruikelijke begrip van afstand is het geval p=2, en het nieuwe dat we zojuist hebben uitgevonden is het geval p=1. (Maak je geen zorgen over waarom ik de letter p heb gekozen om dit weer te geven, maar het was niet willekeurig). Nu komen we ergens.

Wat gebeurt er voor andere waarden van p? Het blijkt dat je zoiets krijgt als dit. De eenheidscirkel in deze p-gewaardeerde versie van afstand begint als een ruit met de punten op (±1,0) en (0,±1), en als p groter wordt, begint hij langzaam rond te worden en uit te zetten, als ware het een ballon die wordt opgeblazen. Bij p=2 vormt hij een cirkel, en bij steeds hogere waarden van p begint hij meer op een vierkant met afgeronde hoeken te lijken. De hoeken worden scherper en scherper naarmate p toeneemt, en het blijkt dat er een gemakkelijke manier is om het geval “p=oneindig” zo te definiëren dat de eenheidscirkel een vierkant is met de punten op (±1,±1). (Het enige wat je hoeft te doen is “afstand” te definiëren als |x1-x2| of |y1-y2|, afhankelijk van welk getal groter is). In deze laatste oneindige versie, merk op dat de eenheid “cirkel” “omtrek” 8 en diameter 2 heeft, dus “pi” zou in die context precies 4 zijn. Je kunt zelfs waarden van p tussen 0 en 1 gebruiken, en de eenheid “cirkel” begint weer in te krimpen, en vormt een vorm als een vierpuntige ster, met de punten nog steeds op (±1,0) en (0,±1), maar de zijden die hen verbinden buigen steeds scherper naar binnen.

Dit is erg cool. Afhankelijk van welke waarde van p je kiest om “afstand” in het coördinatenvlak te definiëren, krijg je een andere waarde van “pi”, de verhouding van omtrek tot diameter, beginnend met 2,82843… bij p=1, toenemend tot 3,14159… bij p=2, enzovoort, telkens een beetje meer toenemend als je p verhoogt en steeds dichter bij 4 komend.