Então o pi está amarrado a círculos, certo? Você pode definir pi de várias maneiras que obviamente não envolvem círculos, mas no final das contas faz mais sentido voltar a dizer que é a razão entre circunferência e diâmetro, ou metade da circunferência de um círculo com raio 1. Deixe-me tentar dar-lhe uma perspectiva diferente sobre a circunferência e os círculos. Em algum momento, tudo isso se resume a “porque é assim que os círculos se comportam na geometria euclidiana”.

Isso não me parece muito útil até agora. Por que a metade da circunferência de um círculo unitário deveria ser este número estranho? Bem, vamos entrar nas entranhas da matemática e perguntar o que é realmente uma circunferência unitária. É o conjunto de pontos que estão exactamente à distância 1 de um ponto fixo, digamos (0,0). Está bem, mas o que significa realmente “distância”? Aqui é onde fica interessante. Na geometria euclidiana comum, medimos a distância entre (x1,y1) e (x2,y2) como ^(1/2), uma vez que isso parece corresponder aproximadamente à nossa noção intuitiva de distância no mundo real. Mas o que é que esses 2 estão a fazer ali dentro? Eles têm que estar lá? A única razão óbvia para fazer as coisas quadradas é ter certeza que a distância sempre sai positiva, e certamente existem outras formas de fazer isso, que podem dar outras noções sensatas de “distância”, que vêm equipadas com sua própria versão do círculo unitário, e portanto sua própria versão de pi…

É assim que muitas coisas em matemática funcionam. Você começa com algo que você conhece, tenta generalizá-lo para uma versão mais abstrata, e então começa a mexer com as partes para ver o que acontece. De que outra forma podemos garantir que a “distância” é sempre um número positivo, além da quadratura? Valor absoluto, é claro! E se você definir a distância entre (x1,y2) e (x2,y2) para ser |x1-x2|+|y1-y2|? O círculo unitário torna-se “pontos (x,y) de tal forma que |x-0|+|y-0|=1”, ou “pontos (x,y) com |x|+|y|=1”. Isso é um diamante! De repente a nossa unidade “círculo” tem quatro pontos em (±1,0) e (0,±1) ligados por linhas de comprimento sqrt(2), e obtemos um valor diferente de “pi”! A razão entre circunferência e diâmetro neste ajuste não é 3,14159… mas 2*sqrt(2), ou 2,82843…

Como podemos ligar a nossa noção habitual de distância, ^(1/2), com esta nova? Basta escrevê-la como ^(1/p). A noção usual de distância é o caso p=2, e o novo que acabamos de inventar é o caso p=1. (Não se preocupe com o porquê de eu ter escolhido a letra p para representar isto, mas não foi arbitrário). Agora estamos chegando a algum lugar.

O que acontece com outros valores de p? Acontece que você recebe algo assim. O círculo unitário nesta versão valorizada de p começa como um diamante com seus pontos em (±1,0) e (0,±1), e à medida que p aumenta, ele lentamente começa a arredondar e expandir-se, como se fosse um balão sendo inflado. Em p=2 forma um círculo, e para valores cada vez mais altos de p começa a parecer mais um quadrado com cantos arredondados. Os cantos ficam cada vez mais nítidos à medida que o p aumenta, e acontece que existe uma maneira fácil de definir o caso “p=infinidade” de tal forma que o círculo unitário é um quadrado com os seus pontos em (±1,±1). (Basta definir “distância” para ser o |x1-x2| ou |y1-y2|, qualquer que seja o número maior). Nesta última versão infinita, note que a unidade “circle” tem “circunferência” 8 e diâmetro 2, então “pi” nesse contexto seria exatamente 4. Você pode até usar valores de p entre 0 e 1, e a unidade “circle” começa a encolher para dentro, formando uma forma como uma estrela de quatro pontas, com os pontos ainda em (±1,0) e (0,±1), mas os lados conectando-os para dentro cada vez mais acentuadamente.

Isso é muito legal. Dependendo do valor de p escolhido para definir “distância” no plano de coordenadas, obtém-se um valor diferente de “pi”, a razão entre circunferência e diâmetro, começando com 2,82843… em p=1, aumentando para 3,14159… em p=2, e assim por diante, aumentando um pouco mais cada vez que aumenta p e se aproximando cada vez mais de 4,