Quindi pi greco è legato ai cerchi, giusto? Puoi definire pi greco in vari modi che non coinvolgono ovviamente i cerchi, ma alla fine ha più senso tornare a dire che è il rapporto tra circonferenza e diametro, o metà della circonferenza di un cerchio di raggio 1. Lasciate che provi a darvi una prospettiva diversa su circonferenza e cerchi. Ad un certo punto, tutto questo si riduce a “perché è così che i cerchi si comportano nella geometria euclidea”.

Questo non sembra molto utile finora. Perché metà della circonferenza di un cerchio unitario dovrebbe essere questo strano numero? Bene, entriamo nelle viscere della matematica e chiediamoci cos’è veramente un cerchio unitario. È l’insieme dei punti che sono esattamente alla distanza 1 da un punto fisso, diciamo (0,0). Ok, ma cosa significa veramente “distanza”? Qui è dove diventa interessante. Nella geometria euclidea ordinaria, misuriamo la distanza tra (x1,y1) e (x2,y2) come ^(1/2), poiché ciò sembra corrispondere approssimativamente alla nostra nozione intuitiva di distanza nel mondo reale. Ma cosa ci fanno quei 2 lì dentro? Devono per forza essere lì? L’unica ragione ovvia per elevare al quadrato le cose è assicurarsi che la distanza risulti sempre positiva, e certamente ci sono altri modi per farlo, che potrebbero dare altre nozioni sensate di “distanza”, che sono dotate della loro versione del cerchio unitario, e quindi della loro versione di pi greco…

È così che funzionano molte cose in matematica. Si inizia con qualcosa che si conosce, si cerca di generalizzarlo ad una versione più astratta, e poi si inizia a giocherellare con le parti per vedere cosa succede. In quale altro modo potremmo assicurarci che la “distanza” sia sempre un numero positivo, a parte la quadratura? Con il valore assoluto, ovviamente! E se si definisce la distanza tra (x1,y2) e (x2,y2) come |x1-x2|+|y1-y2|? Il cerchio unitario diventa “punti (x,y) tali che |x-0|+|y-0|=1”, o “punti (x,y) con |x|+|y|=1”. Questo è un diamante! All’improvviso il nostro “cerchio” unitario ha quattro punti a (±1,0) e (0,±1) collegati da linee di lunghezza sqrt(2), e otteniamo un diverso valore di “pi greco”! Il rapporto tra circonferenza e diametro in questa situazione non è 3,14159… ma 2*sqrt(2), o 2,82843…

Come possiamo collegare la nostra solita nozione di distanza, ^(1/2), con questa nuova? Basta scriverla come ^(1/p). La solita nozione di distanza è il caso p=2, e quella nuova che abbiamo appena inventato è il caso p=1. (Non preoccupatevi del perché ho scelto la lettera p per rappresentare questo, ma non è stato arbitrario). Ora stiamo arrivando da qualche parte.

Cosa succede per altri valori di p? Si scopre che si ottiene qualcosa del genere. Il cerchio unitario in questa versione p-valutata della distanza inizia come un diamante con i suoi punti a (±1,0) e (0,±1), e come p aumenta, inizia lentamente ad arrotondarsi e ad espandersi, come se fosse un palloncino che viene gonfiato. A p=2 forma un cerchio, e per valori sempre più alti di p comincia ad assomigliare a un quadrato con gli angoli arrotondati. Gli angoli diventano sempre più netti all’aumentare di p, e si scopre che c’è un modo semplice per definire il caso “p=infinito” in modo tale da ottenere che il cerchio unitario sia un quadrato con i suoi punti a (±1,±1). (Tutto quello che devi fare è definire la “distanza” come |x1-x2| o |y1-y2|, qualunque sia il numero più grande). In quest’ultima versione infinita, notate che l’unità “cerchio” ha “circonferenza” 8 e diametro 2, quindi “pi greco” in quel contesto sarebbe esattamente 4. Potete anche usare valori di p tra 0 e 1, e l’unità “cerchio” inizia a restringersi di nuovo, formando una forma come una stella a quattro punte, con i punti ancora a (±1,0) e (0,±1) ma i lati che li collegano si piegano verso l’interno sempre più nettamente.

Questo è molto bello. A seconda del valore di p che si sceglie per definire la “distanza” nel piano delle coordinate, si ottiene un diverso valore di “pi greco”, il rapporto tra la circonferenza e il diametro, partendo da 2,82843… a p=1, aumentando a 3,14159… a p=2, e così via, aumentando un po’ di più ogni volta che si aumenta p e avvicinandosi sempre più a 4.

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