Así que pi está ligado a los círculos, ¿verdad? Se puede definir pi de varias maneras que no implican obviamente círculos, pero al final lo más lógico es volver a decir que es el cociente entre la circunferencia y el diámetro, o la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1. Permíteme intentar darte una perspectiva diferente sobre la circunferencia y los círculos. En algún momento, todo esto se reduce a «porque así se comportan los círculos en la geometría euclidiana».

Eso no suena muy útil hasta ahora. ¿Por qué la mitad de la circunferencia de un círculo unitario debe ser este extraño número? Bien, entremos en las tripas de las matemáticas y preguntemos qué es realmente un círculo unitario. Es el conjunto de puntos que están exactamente a la distancia 1 de un punto fijo, digamos (0,0). Bien, pero ¿qué significa realmente «distancia»? Aquí es donde se pone interesante. En la geometría euclidiana ordinaria, medimos la distancia entre (x1,y1) y (x2,y2) como ^(1/2), ya que eso parece corresponder aproximadamente a nuestra noción intuitiva de distancia en el mundo real. Pero, ¿qué hacen esos 2 ahí? ¿Tienen que estar ahí? La única razón obvia para elevar las cosas al cuadrado es asegurarse de que la distancia siempre sea positiva, y ciertamente hay otras formas de hacerlo, que podrían dar otras nociones sensatas de «distancia», que vienen equipadas con su propia versión del círculo unitario, y por lo tanto su propia versión de pi…

Así es como funcionan muchas cosas en matemáticas. Empiezas con algo que conoces, intentas generalizarlo a una versión más abstracta, y luego empiezas a juguetear con las partes para ver qué pasa. ¿De qué otra forma podríamos asegurar que la «distancia» es siempre un número positivo, aparte de elevar al cuadrado? Con el valor absoluto, por supuesto. ¿Y si definimos que la distancia entre (x1,y2) y (x2,y2) es |x1-x2|+|y1-y2|? El círculo unitario se convierte en «puntos (x,y) tales que |x-0|+|y-0|=1», o «puntos (x,y) con |x|+|y|=1». ¡Eso es un diamante! De repente, nuestro «círculo» unitario tiene cuatro puntos en (±1,0) y (0,±1) conectados por líneas de longitud sqrt(2), ¡y obtenemos un valor diferente de «pi»! La relación entre la circunferencia y el diámetro no es 3,14159… sino 2*sqrt(2), o sea 2,82843…

¿Cómo podemos relacionar nuestra noción habitual de distancia, ^(1/2), con esta nueva? Basta con escribirla como ^(1/p). La noción habitual de distancia es el caso p=2, y la nueva que acabamos de inventar es el caso p=1. (No te preocupes por el motivo por el que he elegido la letra p para representar esto, pero no ha sido arbitrario). Ahora estamos llegando a alguna parte.

¿Qué ocurre para otros valores de p? Resulta que se obtiene algo así. El círculo unitario en esta versión p-valorada de la distancia comienza como un diamante con sus puntos en (±1,0) y (0,±1), y a medida que p aumenta, comienza lentamente a redondearse y expandirse, como si fuera un globo que se infla. A p=2 forma un círculo, y para valores cada vez más altos de p empieza a parecerse más a un cuadrado con esquinas redondeadas. Las esquinas se hacen cada vez más agudas a medida que p aumenta, y resulta que hay una manera fácil de definir el caso «p=infinito» de tal manera que se obtiene que el círculo unitario sea un cuadrado con sus puntos en (±1,±1). (Todo lo que tienes que hacer es definir la «distancia» como el |x1-x2| o |y1-y2|, el número que sea mayor). En esta última versión infinita, fíjate en que el «círculo» unitario tiene una «circunferencia» de 8 y un diámetro de 2, por lo que «pi» en ese contexto sería exactamente 4. Incluso puedes utilizar valores de p entre 0 y 1, y el «círculo» unitario empieza a encogerse de nuevo, formando una forma como la de una estrella de cuatro puntas, con los puntos todavía en (±1,0) y (0,±1), pero los lados que los conectan se doblan cada vez más hacia dentro.

Esto es muy chulo. Dependiendo de qué valor de p elijas para definir la «distancia» en el plano de coordenadas, obtienes un valor diferente de «pi», el cociente entre la circunferencia y el diámetro, empezando por 2,82843… en p=1, aumentando a 3,14159… en p=2, y así sucesivamente, aumentando un poco más cada vez que aumentas p y acercándote cada vez más a 4.