Takže pí souvisí s kruhy, že? Pí můžete definovat různými způsoby, které se zjevně netýkají kružnic, ale nakonec dává největší smysl vrátit se k tvrzení, že je to poměr obvodu k průměru, neboli polovina obvodu kružnice o poloměru 1. Pí je tedy poměr obvodu a průměru. Pokusím se vám přiblížit jiný pohled na obvod a kružnice. V určitém okamžiku se to všechno smrskne jen na „protože tak se kruhy chovají v euklidovské geometrii“.

To zatím nezní moc užitečně. Proč by měla být polovina obvodu jednotkového kruhu tímto podivným číslem? Nuže, pojďme vstoupit do útrob matematiky a zeptejme se, co to vlastně jednotková kružnice je. Je to množina bodů, které jsou přesně ve vzdálenosti 1 od pevného bodu, řekněme (0,0). Dobře, ale co vlastně znamená „vzdálenost“? Tady to začíná být zajímavé. V běžné euklidovské geometrii měříme vzdálenost mezi body (x1,y1) a (x2,y2) jako ^(1/2), protože to zřejmě zhruba odpovídá naší intuitivní představě o vzdálenosti v reálném světě. Ale co tam dělají ty dvojky? Musí tam být? Jediný zřejmý důvod, proč věci odmocňovat, je zajistit, aby vzdálenost vycházela vždy kladná, a jistě existují i jiné způsoby, které by mohly dát jiné rozumné pojmy „vzdálenosti“, které jsou vybaveny vlastní verzí jednotkové kružnice, a tedy i vlastní verzí pí…

Takhle funguje spousta věcí v matematice. Začneš s něčím, co znáš, pokusíš se to zobecnit na abstraktnější verzi a pak si začneš pohrávat s jednotlivými částmi, abys viděl, co se stane. Jak jinak bychom mohli zajistit, aby „vzdálenost“ byla vždy kladné číslo, než odmocňováním? Samozřejmě absolutní hodnotou! Co když definujete vzdálenost mezi (x1,y2) a (x2,y2) jako |x1-x2|+|y1-y2|? Z jednotkové kružnice se stane „body (x,y) takové, že |x-0|+|y-0|=1“ nebo „body (x,y) s |x|+|y|=1“. To je kosočtverec! Najednou má náš jednotkový „kruh“ čtyři body v bodech (±1,0) a (0,±1) spojené přímkami o délce sqrt(2) a my dostaneme jinou hodnotu „pí“! Poměr obvodu k průměru v tomto prostředí není 3,14159… ale 2*sqrt(2), neboli 2,82843…

Jak můžeme spojit náš obvyklý pojem vzdálenosti, ^(1/2), s tímto novým? Stačí ho zapsat jako ^(1/p). Obvyklý pojem vzdálenosti je případ p=2 a nový, který jsme právě vymysleli, je případ p=1. (Nedělejte si starosti s tím, proč jsem si k tomu vybral písmeno p, ale nebylo to libovolné). Teď se někam dostáváme.

Co se stane pro jiné hodnoty p? Ukazuje se, že dostanete něco takového. Jednotková kružnice v této verzi vzdálenosti s hodnotou p začíná jako kosočtverec s vrcholy v bodech (±1,0) a (0,±1) a s rostoucí hodnotou p se pomalu začíná zaoblovat a rozšiřovat, jako by šlo o nafukování balónku. Při p=2 tvoří kruh a pro stále vyšší hodnoty p začíná vypadat spíše jako čtverec se zaoblenými rohy. S rostoucím p jsou rohy stále ostřejší a ostřejší a ukazuje se, že existuje snadný způsob, jak definovat případ „p= nekonečno“ tak, aby jednotková kružnice byla čtvercem s body v bodě (±1,±1). (Stačí definovat „vzdálenost“ jako |x1-x2| nebo |y1-y2|, podle toho, které číslo je větší.) V této poslední nekonečné verzi si všimněte, že jednotkový „kruh“ má „obvod“ 8 a průměr 2, takže „pí“ by v tomto kontextu bylo přesně 4. Můžete dokonce použít hodnoty p mezi 0 a 1 a jednotkový „kruh“ se začne opět zmenšovat a vytvoří tvar podobný čtyřcípé hvězdě, jejíž body jsou stále na (±1,0) a (0,±1), ale strany, které je spojují, se ohýbají stále ostřeji dovnitř.

To je moc fajn. V závislosti na tom, jakou hodnotu p zvolíte pro definici „vzdálenosti“ v souřadnicové rovině, dostanete jinou hodnotu „pí“, poměru obvodu k průměru, počínaje hodnotou 2,82843… při p=1, rostoucí na 3,14159… při p=2 a tak dále, přičemž při každém zvětšení p roste o něco více a stále více se blíží hodnotě 4.