Så pi är kopplat till cirklar, eller hur? Man kan definiera pi på olika sätt som inte uppenbart involverar cirklar, men i slutändan är det mest logiskt att återgå till att säga att det är förhållandet mellan omkrets och diameter, eller halva omkretsen av en cirkel med radie 1. Låt mig försöka ge dig ett annat perspektiv på omkrets och cirklar. Vid en viss tidpunkt handlar allt detta bara om att ”eftersom det är så cirklar beter sig i euklidisk geometri”.

Det låter inte särskilt hjälpsamt så här långt. Varför skulle halva omkretsen av en enhetscirkel vara detta märkliga tal? Nåväl, låt oss gå in i matematikens inre och fråga oss vad en enhetscirkel egentligen är. Det är samlingen av punkter som befinner sig exakt på avstånd 1 från en fast punkt, till exempel (0,0). Okej, men vad betyder egentligen ”avstånd”? Det är här det blir intressant. I vanlig euklidisk geometri mäter vi avståndet mellan (x1,y1) och (x2,y2) som ^(1/2), eftersom det verkar motsvara ungefär vår intuitiva uppfattning om avstånd i den verkliga världen. Men vad gör de där 2:orna där inne? Måste de finnas där? Det enda uppenbara skälet till att kvadrera saker och ting är att se till att avståndet alltid blir positivt, och det finns säkert andra sätt att göra det på, som kan ge andra förnuftiga uppfattningar om ”avstånd”, som är utrustade med sin egen version av enhetscirkeln, och därmed sin egen version av pi…

Det är så här många saker i matematiken fungerar. Man börjar med något man känner till, försöker generalisera det till en mer abstrakt version och börjar sedan pilla med delarna för att se vad som händer. Hur skulle vi annars kunna se till att ”avstånd” alltid är ett positivt tal, förutom genom att kvadrera? Absolutvärde, förstås! Vad händer om man definierar avståndet mellan (x1,y2) och (x2,y2) som |x1-x2|+|y1-y2|? Enhetscirkeln blir ”punkter (x,y) så att |x-0|+|y-0|=1”, eller ”punkter (x,y) med |x|+|y|=1”. Det är en diamant! Plötsligt har vår enhetscirkel fyra punkter vid (±1,0) och (0,±1) som är förbundna med linjer med längden sqrt(2), och vi får ett annat värde på ”pi”! Förhållandet mellan omkrets och diameter är inte 3,14159… utan 2*sqrt(2), eller 2,82843…

Hur kan vi koppla ihop vårt vanliga begrepp om avstånd, ^(1/2), med detta nya begrepp? Det är bara att skriva det som ^(1/p). Det vanliga begreppet avstånd är fallet p=2, och det nya begreppet som vi just uppfann är fallet p=1. (Oroa dig inte för varför jag har valt bokstaven p för att representera detta, men det var inte godtyckligt). Nu kommer vi någonstans.

Vad händer för andra värden på p? Det visar sig att man får något liknande. Enhetscirkeln i denna p-värderade version av avstånd börjar som en diamant med punkterna vid (±1,0) och (0,±1), och när p ökar börjar den långsamt rundas av och expandera, som om det vore en ballong som blåstes upp. Vid p=2 bildar den en cirkel, och för högre och högre värden på p börjar den mer likna en kvadrat med rundade hörn. Hörnen blir skarpare och skarpare när p ökar, och det visar sig att det finns ett enkelt sätt att definiera fallet ”p=obegränsad” på ett sådant sätt att man får enhetscirkeln som är en kvadrat med punkterna vid (±1,±1). (Allt du behöver göra är att definiera ”avstånd” som antingen |x1-x2| eller |y1-y2|, beroende på vilket tal som är störst). I denna sista oändliga version, lägg märke till att enheten ”cirkel” har ”omkrets” 8 och diameter 2, så ”pi” i det sammanhanget skulle vara exakt 4. Du kan till och med använda värden för p mellan 0 och 1, och enheten ”cirkel” börjar krympa tillbaka inåt och bildar en form som en fyruddig stjärna, med punkterna fortfarande vid (±1,0) och (0,±1), men sidorna som förbinder dem böjer sig allt skarpare inåt.

Det här är väldigt coolt. Beroende på vilket värde på p man väljer för att definiera ”avstånd” i koordinatplanet får man ett annat värde på ”pi”, förhållandet mellan omkrets och diameter, som börjar med 2,82843… vid p=1, ökar till 3,14159… vid p=2 och så vidare, ökar lite mer för varje gång man ökar p och närmar sig allt närmare 4.