Więc pi jest związane z okręgami, prawda? Możesz zdefiniować pi na różne sposoby, które oczywiście nie wiążą się z kołami, ale ostatecznie najbardziej sensowny jest powrót do stwierdzenia, że jest to stosunek obwodu do średnicy, lub połowa obwodu koła o promieniu 1. Pozwól, że postaram się przedstawić Ci inną perspektywę na obwód i okręgi. W pewnym momencie to wszystko po prostu sprowadza się do „ponieważ tak zachowują się okręgi w geometrii euklidesowej”.

To nie brzmi zbyt pomocnie do tej pory. Dlaczego połowa obwodu okręgu jednostkowego miałaby być tą dziwną liczbą? Cóż, wejdźmy w trzewia matematyki i zapytajmy, czym tak naprawdę jest okrąg jednostkowy. Jest to zbiór punktów, które znajdują się dokładnie w odległości 1 od stałego punktu, powiedzmy (0,0). No dobrze, ale co tak naprawdę oznacza „odległość”? Tutaj robi się ciekawie. W zwykłej geometrii euklidesowej mierzymy odległość między (x1,y1) i (x2,y2) jako ^(1/2), ponieważ wydaje się to z grubsza odpowiadać naszemu intuicyjnemu pojęciu odległości w świecie rzeczywistym. Ale co te 2 tam robią? Czy one muszą tam być? Jedynym oczywistym powodem do kwadratowania rzeczy jest upewnienie się, że odległość zawsze wychodzi dodatnia, i z pewnością istnieją inne sposoby robienia tego, które mogą dać inne sensowne pojęcia „odległości”, które są wyposażone w ich własną wersję koła jednostkowego, a zatem ich własną wersję pi…

Tak działa wiele rzeczy w matematyce. Zaczynasz od czegoś, co znasz, próbujesz to uogólnić do bardziej abstrakcyjnej wersji, a potem zaczynasz bawić się częściami, żeby zobaczyć, co się stanie. Jak inaczej możemy zapewnić, że „odległość” jest zawsze liczbą dodatnią, niż przez podniesienie do kwadratu? Wartość bezwzględna, oczywiście! Co jeśli zdefiniujemy odległość między (x1,y2) i (x2,y2) jako |x1-x2|+|y1-y2|? Koło jednostkowe staje się „punktami (x,y) takimi, że |x-0|+|y-0|=1”, lub „punktami (x,y) z |x|+|y|=1”. To jest diament! Nagle nasze jednostkowe „koło” ma cztery punkty w (±1,0) i (0,±1) połączone liniami o długości sqrt(2), a my otrzymujemy inną wartość „pi”! Stosunek obwodu do średnicy w tym przypadku nie wynosi 3.14159… ale 2*sqrt(2), lub 2.82843…

Jak możemy połączyć nasze zwykłe pojęcie odległości, ^(1/2), z tym nowym? Wystarczy zapisać je jako ^(1/p). Zwykłe pojęcie odległości to przypadek p=2, a to nowe, które właśnie wymyśliliśmy, to przypadek p=1. (Nie przejmuj się tym, dlaczego wybrałem literę p, aby to przedstawić, ale nie było to arbitralne). Teraz już gdzieś dochodzimy.

Co się dzieje dla innych wartości p? Okazuje się, że otrzymujemy coś takiego. Okrąg jednostkowy w tej p-wartościowej wersji odległości zaczyna się jako diament z punktami w (±1,0) i (0,±1), a wraz ze wzrostem p, powoli zaczyna się zaokrąglać i rozszerzać, jak gdyby był nadmuchiwanym balonem. Przy p=2 tworzy okrąg, a dla coraz wyższych wartości p zaczyna przypominać kwadrat z zaokrąglonymi rogami. Rogi stają się coraz ostrzejsze wraz ze wzrostem wartości p. Okazuje się, że istnieje prosty sposób na zdefiniowanie przypadku „p=nieskończoność” w taki sposób, że otrzymujemy okrąg jednostkowy będący kwadratem o wierzchołkach w punkcie (±1,±1). (Wszystko co musisz zrobić, to zdefiniować „odległość” jako |x1-x2| lub |y1-y2|, w zależności od tego, która liczba jest większa). W tej ostatniej nieskończonej wersji zauważ, że jednostka „koło” ma „obwód” 8 i średnicę 2, więc „pi” w tym kontekście wynosiłoby dokładnie 4. Możesz nawet użyć wartości p pomiędzy 0 a 1, a jednostka „koło” zacznie się kurczyć z powrotem, tworząc kształt jak czteroramienna gwiazda, z punktami nadal w (±1,0) i (0,±1), ale łączące je boki coraz ostrzej zaginają się do wewnątrz.

To jest bardzo fajne. W zależności od tego, jaką wartość p wybierzesz do określenia „odległości” w płaszczyźnie współrzędnych, otrzymasz inną wartość „pi”, stosunku obwodu do średnicy, zaczynając od 2,82843… przy p=1, wzrastając do 3,14159… przy p=2, i tak dalej, zwiększając nieco więcej za każdym razem, gdy zwiększasz p i zbliżając się coraz bardziej do 4.

.