Eulerin kaava

(Kompleksiluvuista on olemassa toinenkin ”Eulerin kaava”,
tämä sivu kertoo geometriassa ja kuvaajissa käytetystä kaavasta)

Mille tahansa monitaholle, joka ei leikkaa itseään,

pintojen lukumäärä
lisäksi kärkipisteiden (kulmapisteiden) lukumäärä
miinus reunojen lukumäärä

on aina yhtä suuri kuin 2

Tämä voidaan kirjoittaa: F + V – E = 2

Kokeile sitä kuutiolla:

Kuutiolla on 6 pintaa, 8 kärkipistettä ja 12 reunaa,

siten:

6 + 8 – 12 = 2

Esimerkki platonisilla kappaleilla

Kokeillaan 5 platonisella kappaleella:

Nimi	Pinnat	Vertikaalit	Särmiöt	Särmät	F+V-	8	12	2
Oktaedri	8	6	12	2
Dodekaedri	12	20	30	2
Ikosaedri	20	12	30	2

(Itse asiassa Eulerin kaavalla voidaan todistaa, että platonisia kiinteitä aineita on vain 5)

Miksi aina 2? Kuvittele, että otat kuution ja lisäät siihen reunan (yhden sivun kulmasta kulmaan). Saamme ylimääräisen reunan ja ylimääräisen kasvon: 7 + 8 – 13 = 2

Vai yritetäänkö ottaa mukaan toinenkin kärki, ja saamme ylimääräisen reunan: 6 + 9 – 13 = 2.
”Teimme mitä tahansa, saamme aina tulokseksi 2.” (Mutta vain tämäntyyppiselle monikulmionmuodostajalle … lue lisää!).)

Pallo

Kaikki platoniset kiinteät kappaleet (ja monet muutkin kiinteät kappaleet) ovat kuin pallo … voimme muokata niitä niin, että niistä tulee pallo (siirtämällä niiden nurkkapisteitä ja taivuttamalla sitten niiden pintoja hieman).

Siitä syystä tiedämme, että F + V – E = 2 pallolle

(Ole varovainen, emme voi yksinkertaisesti sanoa, että pallolla on 1 pinta ja 0 kärkeä ja reunaa, sillä F+V-E=1)

Tulos on siis taas 2.

Mutta ei aina 2 … !

Nyt kun näet miten tämä toimii, niin katsotaanpa miten se ei toimi.

Mitä jos yhdistäisimme kaksi vastakkaista ikosaedrin kulmaa?

Se on edelleen ikosaedri (mutta ei enää kupera).

Se itse asiassa näyttää hieman rummulta, jonka ylä- ja alaosan joku on ommellut yhteen.

Nyt siinä on sama määrä reunoja ja kasvoja … mutta yksi kärki vähemmän!

Siten:

F + V – E = 1

Oh ei! Se ei aina summaudu 2:ksi.

Syy, miksi se ei toiminut, oli se, että tämä uusi muoto on pohjimmiltaan erilainen … tuo yhteen liitetty bitti keskellä tarkoittaa sitä, että kaksi kärkeä vähennetään 1:een.

Eulerin karakteristiikka

F+V-E voi siis olla 2 tai 1 ja ehkä muitakin arvoja, joten yleisempi kaava on

F + V – E = χ

Jossa χ on nimeltään ”Eulerin karakteristiikka”.

Tässä on muutamia esimerkkejä:

Muoto		χ
Pallo		2
Torus		0
Mobiuksen kaistale		0

Ja Eulerin karakteristiikka voi olla myös pienempi kuin nolla.

Tämä on ”kuubohemioktaedri”: Sillä on 10 pintaa (se voi näyttää useammalta, mutta jotkut ”sisäpuoliset” pinnat ovat todellisuudessa vain yksi pinta), 24 reunaa ja 12 kärkeä, joten:

F + V – E = -2

Eulerin ominaispiirre on itse asiassa topologian (avaruuden luonteen tutkiminen) perusajatus.

Donitsi ja kahvikuppi

(Animaatio kohteliaisuudesta
Wikipedia Käyttäjä:Kieff)

Viimeiseksi tämä keskustelu olisi epätäydellinen osoittamatta, että donitsi ja kahvikuppi ovat oikeasti sama asia!

Noh, ne voidaan deformoida toisiinsa.

Sanomme, että nämä kaksi kohdetta ovat ”homeomorfisia” (kreikankielestä homoios = identtinen ja morphe = muoto)

Aivan kuten platoniset kiinteät kappaleet ovat homeomorfisia pallolle.

Ja kehosi on homeomorfinen torukselle, jos puristat nenäsi umpeen.

Kaikki nämä kaksi kohdetta ovat homeomorfisia.