(Hay otra «Fórmula de Euler» sobre los números complejos,
esta página es sobre la utilizada en Geometría y Grafos)
Fórmula de Euler
Para cualquier poliedro que no se intersecte a sí mismo, el
- Número de Caras
- más el Número de Vértices (puntos de esquina)
- menos el Número de Aristas
siempre es igual a 2
Esto se puede escribir: F + V – E = 2
 |
Pruébalo en el cubo: Un cubo tiene 6 Caras, 8 Vértices y 12 Aristas, así que: 6 + 8 – 12 = 2 |
Ejemplo con los sólidos platónicos
Probemos con los 5 sólidos platónicos:
| Nombre | Caras | Vértices | Bordes | F+V-E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro |  |
4 | 4 | 6 | 2 |
| Cubo | |
6 | 8 | 12 | 2 |
| Octaedro |  |
8 | 6 | 12 | 2 |
| Dodecaedro |  |
12 | 20 | 30 | 2 |
| Icosaedro |  |
20 | 12 | 30 | 2 |
(De hecho la fórmula de Euler puede utilizarse para demostrar que sólo hay 5 sólidos platónicos)
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¿Por qué siempre 2? 7 + 8 – 13 = 2 |
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O intenta incluir otro vértice, 6 + 9 – 13 = 2. |
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| «Hagamos lo que hagamos, siempre acabamos con 2» (Pero sólo para este tipo de Poliedro… ¡sigue leyendo!) |
La Esfera
Todos los Sólidos Platónicos (y muchos otros sólidos) son como una Esfera … podemos remodelarlos para que se conviertan en una Esfera (mover sus puntos de esquina, luego curvar un poco sus caras).
Por eso sabemos que F + V – E = 2 para una esfera
(Ojo, no podemos decir simplemente que una esfera tiene 1 cara, y 0 vértices y aristas, pues F+V-E=1)
Entonces, el resultado vuelve a ser 2.
Pero no siempre 2 … !
Ahora que ves cómo funciona esto, vamos a descubrir cómo no funciona.
¿Y si unimos dos vértices opuestos de un icosaedro?
Sigue siendo un icosaedro (pero ya no es convexo).
De hecho, se parece un poco a un tambor en el que alguien ha cosido la parte superior y la inferior.
Ahora, hay el mismo número de aristas y caras… ¡pero un vértice menos!
Entonces:
F + V – E = 1
¡Oh No! No siempre suma 2.
La razón por la que no funcionaba era que esta nueva forma es básicamente diferente … ese trozo unido en el medio significa que dos vértices se reducen a 1.
Característica de Euler
Entonces, F+V-E puede ser igual a 2, o a 1, y quizás a otros valores, así que la fórmula más general es
F + V – E = χ
Donde χ se llama la «Característica de Euler».
Aquí hay algunos ejemplos:
| Forma | χ | |
|---|---|---|
| Esfera |  |
2 |
| Toro |  |
0 |
| Tira de Mobius |  |
0 |
Y la Característica de Euler también puede ser menor que cero.
Este es el «Cubohemioctaedro»: Tiene 10 Caras (puede parecer más, pero algunas de las caras «interiores» son realmente una sola cara), 24 Aristas y 12 Vértices, por lo que:
F + V – E = -2
De hecho la Característica de Euler es una idea básica en Topología (el estudio de la Naturaleza del Espacio).¡
Donut y Taza de Café
(Animación cortesía de
Wikipedia User:Kieff)
Por último, esta discusión estaría incompleta sin mostrar que un Donut y una Taza de Café son realmente lo mismo!
Pues bien, se pueden deformar el uno en el otro.
Declaramos que los dos objetos son «homeomórficos» (del griego homoios = idéntico y morphe = forma)
Al igual que los sólidos platónicos son homeomórficos a la esfera.
Y tu cuerpo es homeomórfico a un toro si te pellizcas la nariz cerrada.