(Há outra “Euler’s Formula” sobre números complexos,
esta página é sobre a usada em Geometria e Gráficos)
Euler’s Formula
Para qualquer poliedro que não se intercepte a si mesmo, o
- Número de Faces
- mais o Número de Vértices (pontos de canto)
- menus o Número de Arestas
igualmente igual a 2
Esta pode ser escrita: F + V – E = 2
 |
Tenta-o no cubo: Um cubo tem 6 faces, 8 vértices e 12 bordas, so: 6 + 8 – 12 = 2 |
Exemplo Com Sólidos Platónicos
Tentemos com os 5 Sólidos Platónicos:
| Nome | Faces | Vértices | Edges | F+V-E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro |  |
4 | 4 | 6 | 2 |
| Cubo | |
6 | 8 | 12 | 2 |
| Octahedron |  |
8 | 6 | 12 | 2 |
| Dodecaedro |  |
12 | 20 | 30 | 2 |
| Icosaedro |  |
20 | 12 | 30 | 2 |
(De facto, a fórmula de Euler pode ser usada para provar que existem apenas 5 sólidos platónicos)
|
Porquê sempre 2? 7 + 8 – 13 = 2 |
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Ou tentar incluir outro vértice, 6 + 9 – 13 = 2. |
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| “Não importa o que façamos, acabamos sempre com 2” (Mas só para este tipo de Poliedro … continue lendo!) |
A Esfera
Todos os Sólidos Platónicos (e muitos outros sólidos) são como uma Esfera … podemos remodelá-los para que se tornem uma Esfera (mover os seus pontos de canto, depois curvar um pouco as suas faces).
Por esta razão sabemos que F + V – E = 2 para uma esfera
(Cuidado, não podemos simplesmente dizer que uma esfera tem 1 face, e 0 vértices e bordas, para F+V-E=1)
Então, o resultado é 2 novamente.
But Not Always 2 … !
Agora que você veja como isto funciona, vamos descobrir como não funciona.
E se juntássemos dois cantos opostos de um icosaedro?
>
Ainda é um icosaedro (mas já não convexo).
De facto, parece um pouco um tambor onde alguém coseu o topo e a base.
Agora, há o mesmo número de bordas e faces… mas um vértice a menos!
So:
F + V – E = 1
Oh Não! Nem sempre acrescenta a 2.
A razão pela qual não funcionou foi porque esta nova forma é basicamente diferente … que juntou bit no meio significa que dois vértices ficam reduzidos a 1.
Característica do eler
Então, F+V-E pode ser igual a 2, ou 1, e talvez outros valores, então a fórmula mais geral é
F + V – E = χ
Onde χ é chamado de “Característica do eler”.
Aqui estão alguns exemplos:
| Forma | χ | |
|---|---|---|
| Sphere |  |
2 |
| Torus |  |
0 |
| Faixa Mobius |  |
0 |
E a Característica Euler também pode ser inferior a zero.
Este é o “Cubohemioctahedron”: Ela tem 10 Faces (pode parecer mais, mas algumas das faces “internas” são realmente apenas uma face), 24 Edges e 12 Vértices, então:
F + V – E = -2
De fato a Característica de Euler é uma idéia básica em Topologia (o estudo da Natureza do Espaço).
Donut e Cafeteira
(Animação cortesia
Wikipedia User:Kieff)
Por último, esta discussão estaria incompleta sem mostrar que um Donut e uma Cafeteira são realmente a mesma coisa!
Bem, eles podem ser deformados um no outro.
Dizemos que os dois objectos são “homeomórficos” (do grego homoios = idênticos e morphe = forma)
Só como os sólidos platónicos são homeomórficos para a esfera.
E o seu corpo é homeomórfico para um toro se beliscar o nariz fechado.