(C’è un’altra “Formula di Eulero” sui numeri complessi,
questa pagina è su quella usata in Geometria e Grafici)
Formula di Eulero
Per ogni poliedro che non si interseca, il
- numero di facce
- più il numero di vertici (punti d’angolo)
- meno il numero di spigoli
sempre uguale a 2
Questo può essere scritto: F + V – E = 2
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Prova sul cubo: Un cubo ha 6 facce, 8 vertici e 12 bordi, quindi: 6 + 8 – 12 = 2 |
Esempio con i solidi platonici
Prova con i 5 solidi platonici:
| Nome | Facce | Verticali | Edili | F+V-E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro |  |
4 | 4 | 6 | 2 |
| Cube | |
6 | 8 | 12 | 2 |
| Ottaedro |  |
8 | 6 | 12 | 2 |
| Dodecaedro |  |
12 | 20 | 30 | 2 |
| Icosaedro |  |
20 | 12 | 30 | 2 |
(Infatti la formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici)
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Perché sempre 2? 7 + 8 – 13 = 2 |
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O provate a includere un altro vertice, 6 + 9 – 13 = 2. |
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| “Non importa cosa facciamo, ci ritroviamo sempre con 2” (Ma solo per questo tipo di Poliedro…continua a leggere!) |
La Sfera
Tutti i Solidi Platonici (e molti altri solidi) sono come una Sfera … possiamo rimodellarli in modo che diventino una Sfera (spostare i loro punti d’angolo, poi curvare un po’ le loro facce).
Per questo sappiamo che F + V – E = 2 per una sfera
(Attenzione, non possiamo semplicemente dire che una sfera ha 1 faccia, e 0 vertici e spigoli, per F+V-E=1)
Quindi, il risultato è di nuovo 2.
Ma non sempre 2 … !
Ora che hai visto come funziona, scopriamo come non funziona.
E se unissimo due angoli opposti di un icosaedro?
E’ ancora un icosaedro (ma non più convesso).
In effetti sembra un po’ un tamburo dove qualcuno ha cucito la parte superiore e inferiore insieme.
Ora, c’è lo stesso numero di spigoli e di facce… ma un vertice in meno!
Così:
F + V – E = 1
Oh no! Non sempre si somma a 2.
La ragione per cui non ha funzionato è che questa nuova forma è fondamentalmente diversa … quella parte unita nel mezzo significa che due vertici si riducono a 1.
Caratteristica di Eulero
Quindi, F+V-E può essere uguale a 2, o 1, e forse altri valori, quindi la formula più generale è
F + V – E = χ
dove χ è chiamata “caratteristica di Eulero”.
Ecco alcuni esempi:
| Forma | χ | |
|---|---|---|
| Sfera |  |
2 |
| Toro |  |
0 |
| Striscia di Mobius |  |
0 |
E la caratteristica di Eulero può anche essere inferiore a zero.
Questo è il “Cubohemioctahedron”: Ha 10 facce (può sembrare di più, ma alcune delle facce “interne” sono in realtà solo una faccia), 24 Bordi e 12 Vertici, quindi:
F + V – E = -2
In effetti la Caratteristica di Eulero è un’idea base della Topologia (lo studio della Natura dello Spazio).
Tazzina di caffè e ciambella
(Animazione per gentile concessione di
Wikipedia Utente:Kieff)
Infine, questa discussione sarebbe incompleta senza mostrare che una ciambella e una tazza di caffè sono davvero la stessa cosa!
Ebbene, possono essere deformati l’uno nell’altro.
Diciamo che i due oggetti sono “omeomorfi” (dal greco homoios = identico e morphe = forma)
Proprio come i solidi platonici sono omeomorfi alla sfera.
E il tuo corpo è omeomorfo a un toro se ti stringi il naso.