Wzór Eulera

(Istnieje inny „Wzór Eulera” dotyczący liczb zespolonych,
ta strona dotyczy tego używanego w Geometrii i Grafach)

Dla dowolnego wielościanu, który nie przecina samego siebie, the

Number of Faces
plus the Number of Vertices (corner points)
minus the Number of Edges

always equals 2

This can be written: F + V – E = 2

Spróbuj to na sześcianie:

Sześcian ma 6 Twarzy, 8 Wierzchołków i 12 Krawędzi,

więc:

6 + 8 – 12 = 2

Przykład Z Bryłami Platońskimi

Spróbujmy z 5 Bryłami Platońskimi:

Nazwa	Powierzchnie	Pertyzy	Krawędzie	F+V-.E
Tetrahedron	4	4	6	2
Cube	6	6	8	12	2
Oktahedron	8	6	12	2
Dodecahedron	12	20	30	2
Icosahedron	20	12	30	30	2

(W rzeczywistości Wzór Eulera może być użyty do udowodnienia, że istnieje tylko 5 brył platońskich)

Dlaczego zawsze 2? Wyobraźmy sobie, że bierzemy sześcian i dodajemy krawędź (od rogu do rogu jednej ściany). Dostajemy dodatkową krawędź, plus dodatkową ścianę: 7 + 8 – 13 = 2

Albo spróbujmy dołączyć kolejny wierzchołek, i otrzymamy dodatkową krawędź: 6 + 9 – 13 = 2.
„Bez względu na to, co robimy, zawsze kończymy z 2” (Ale tylko dla tego typu wielościanu … czytaj dalej!)

Sfera

Wszystkie bryły platońskie (i wiele innych brył) są jak kula … możemy je przekształcić tak, że stają się kulą (przesuń ich punkty narożne, a następnie zakrzywić ich twarze trochę).

Z tego powodu wiemy, że F + V – E = 2 dla sfery

(Uważaj, nie możemy po prostu powiedzieć, że sfera ma 1 twarz i 0 wierzchołków i krawędzi, dla F+V-E=1)

Więc, wynik jest 2 ponownie.

Ale nie zawsze 2 … !

Teraz gdy widzisz jak to działa, odkryjmy jak to nie działa.

Co by było gdybyśmy połączyli dwa przeciwległe rogi dwudziestościanu?

To wciąż jest dwudziestościan (ale już nie wypukły).

W rzeczywistości wygląda to trochę jak bęben, w którym ktoś zszył górę i dół razem.

Teraz jest ta sama liczba krawędzi i ścian … ale jeden wierzchołek mniej!

Więc:

F + V – E = 1

Oh Nie! To nie zawsze dodaje się do 2.

Powodem, dla którego to nie zadziałało było to, że ten nowy kształt jest zasadniczo inny … ten połączony bit w środku oznacza, że dwa wierzchołki zostają zredukowane do 1.

Charakterystyka Eulera

Więc, F+V-E może być równe 2, lub 1, i może mieć inne wartości, więc bardziej ogólny wzór to

F + V – E = χ

Gdzie χ jest nazywane „Charakterystyką Eulera”.

Oto kilka przykładów:

Kształt		χ
Sfera		2
Torus		0
Pasek Mobiusa		0

A charakterystyka Eulera może być również mniejsza od zera.

To jest „Cubohemioctahedron”: Ma 10 Twarzy (może wyglądać na więcej, ale niektóre z „wewnętrznych” twarzy są naprawdę tylko jedną twarzą), 24 Krawędzie i 12 Werteksów, więc:

F + V – E = -2

W rzeczywistości Charakterystyka Eulera jest podstawową ideą w Topologii (badanie Natury Przestrzeni).

Donut i Filiżanka Kawy

(Animacja dzięki uprzejmości
Wikipedia User:Kieff)

Na koniec, ta dyskusja byłaby niekompletna bez pokazania, że Pączek i Filiżanka Kawy są naprawdę takie same!

Cóż, mogą być zdeformowane do siebie nawzajem.

Mówimy, że te dwa obiekty są „homeomorficzne” (z greckiego homoios = identyczny i morphe = kształt)

Tak jak bryły platońskie są homeomorficzne do kuli.

A twoje ciało jest homeomorficzne do torusa, jeśli zaciśniesz nos.