(Er is nog een “Formule van Euler” over complexe getallen,
deze pagina gaat over degene die in Meetkunde en Grafieken wordt gebruikt)
Formule van Euler
Voor elk veelvlak dat zichzelf niet snijdt, het
- aantal vlakken
- plus het aantal hoekpunten
- minus het aantal ribben
altijd gelijk aan 2
Dit kan worden geschreven als: F + V – E = 2
 |
Probeer het maar eens op de kubus: Een kubus heeft 6 vlakken, 8 hoekpunten, en 12 ribben, zo: 6 + 8 – 12 = 2 |
Voorbeeld met de Platonische Eenheden
Laten we het eens proberen met de 5 Platonische Eenheden:
| Naam | Veaces | Vertices | Edges | F+V-E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraëder |  |
4 | 6 | 2 | |
| Kubus | |
6 | 8 | 12 | 2 |
| Octaëder |  |
8 | 6 | 12 | 2 |
| Dodecaëder |  |
12 | 20 | 30 | 2 |
| Icosaëder |  |
20 | 12 | 30 | 2 |
(In feite kan de Formule van Euler worden gebruikt om te bewijzen dat er slechts 5 Platonische Eenheden zijn)
|
Waarom altijd 2? 7 + 8 – 13 = 2 |
 |
|
Of probeer een ander hoekpunt toe te voegen, 6 + 9 – 13 = 2. |
 |
| “Wat we ook doen, we komen altijd uit op 2” (Maar alleen voor dit type veelvlak … lees verder! |
De bol
Alle Platonische vaste lichamen (en veel andere vaste lichamen) zijn als een bol … we kunnen ze zo vervormen dat ze een bol worden (verplaats hun hoekpunten, buig dan hun zijvlakken een beetje).
Daarom weten we dat F + V – E = 2 voor een bol
(Pas op, we kunnen niet eenvoudigweg zeggen dat een bol 1 zijvlak heeft, en 0 hoekpunten en ribben, want F+V-E=1)
Dus, het resultaat is weer 2.
Maar niet altijd 2 … !
Nu u ziet hoe dit werkt, laten we eens ontdekken hoe het niet werkt.
Wat als we twee tegenover elkaar liggende hoeken van een icosaëder zouden samenvoegen?
Het is nog steeds een icosaëder (maar niet meer convex).
Het lijkt in feite een beetje op een trommel waarvan iemand de boven- en onderkant aan elkaar heeft genaaid.
Nu zijn er evenveel ribben en zijvlakken… maar één hoekpunt minder!
Dus:
F + V – E = 1
Oh nee! Het telt niet altijd op tot 2.
De reden dat het niet werkte was dat deze nieuwe vorm fundamenteel anders is … dat samengevoegde stukje in het midden betekent dat twee hoekpunten gereduceerd worden tot 1.
Euler-karakteristiek
Zo kan F+V-E gelijk zijn aan 2, of 1, en misschien nog andere waarden, dus de meer algemene formule is
F + V – E = χ
Waarbij χ de “Euler-karakteristiek” wordt genoemd.
Hier zijn een paar voorbeelden:
| Vorm | χ | |
|---|---|---|
| Sfeer |  |
2 |
| Torus |  |
0 |
| Mobiusstrook |  |
0 |
En de Euler-karakteristiek kan ook kleiner dan nul zijn.
Dit is de “kubohemioctaëder”: Het heeft 10 vlakken (het lijken er meer, maar sommige van de “binnenvlakken” zijn eigenlijk maar één vlak), 24 Randen en 12 Hoekpunten, dus:
F + V – E = -2
In feite is de Euler-karakteristiek een basisidee in de Topologie (de studie van de Aard van de Ruimte).
Donut en koffiekopje
(Animatie met dank aan
Wikipedia User:Kieff)
Tot slot zou deze discussie onvolledig zijn zonder te laten zien dat een Donut en een Koffiekopje eigenlijk hetzelfde zijn!
Wel, ze kunnen in elkaar worden vervormd.
We zeggen dat de twee objecten “homeomorf” zijn (van Grieks homoios = identiek en morphe = vorm)
Zoals de platonische vaste lichamen homeomorf zijn aan de bol.
En je lichaam is homeomorf aan een torus als je je neus dichtknijpt.