(Es gibt noch eine andere „Eulersche Formel“ über komplexe Zahlen,
diese Seite handelt von der in Geometrie und Graphen verwendeten)
Eulersche Formel
Für jedes Polyeder, das sich nicht selbst schneidet, die
- Anzahl der Flächen
- plus die Anzahl der Scheitelpunkte (Eckpunkte)
- minus die Anzahl der Kanten
ist immer gleich 2
Dies kann geschrieben werden: F + V – E = 2
 |
Versuchen Sie es mit dem Würfel: Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten, also: 6 + 8 – 12 = 2 |
Beispiel mit platonischen Körpern
Lassen Sie es uns mit den 5 platonischen Körpern versuchen:
| Name | Flächen | Winkel | Kanten | F+V-E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraeder |  |
4 | 4 | 6 | 2 |
| Würfel | |
6 | 8 | 12 | 2 |
| Oktaeder |  |
8 | 6 | 12 | 2 |
| Dodekaeder |  |
12 | 20 | 30 | 2 |
| Ikosaeder |  |
20 | 12 | 30 | 2 |
(Tatsächlich kann die Eulersche Formel verwendet werden, um zu beweisen, dass es nur 5 platonische Körper gibt)
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Warum immer 2? 7 + 8 – 13 = 2 |
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Oder versuchen Sie, einen weiteren Scheitelpunkt hinzuzufügen, 6 + 9 – 13 = 2. |
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| „Egal was wir tun, wir erhalten immer 2“ (Aber nur für diese Art von Polyeder … lies weiter!) |
Die Kugel
Alle platonischen Körper (und viele andere Körper) sind wie eine Kugel … wir können sie so umformen, dass sie zu einer Kugel werden (ihre Eckpunkte verschieben, dann ihre Flächen ein wenig krümmen).
Aus diesem Grund wissen wir, dass F + V – E = 2 für eine Kugel ist
(Vorsicht, wir können nicht einfach sagen, eine Kugel hat 1 Fläche und 0 Ecken und Kanten, denn F+V-E=1)
Das Ergebnis ist also wieder 2.
Aber nicht immer 2 … !
Nun, da du siehst, wie das funktioniert, lass uns entdecken, wie es nicht funktioniert.
Was wäre, wenn wir zwei gegenüberliegende Ecken eines Ikosaeders verbinden würden?
Es ist immer noch ein Ikosaeder (aber nicht mehr konvex).
Es sieht ein bisschen aus wie eine Trommel, bei der jemand die Ober- und Unterseite zusammengenäht hat.
Jetzt gibt es die gleiche Anzahl von Kanten und Flächen … aber einen Scheitelpunkt weniger!
So:
F + V – E = 1
Oh nein! Das ergibt nicht immer 2.
Der Grund, warum es nicht funktioniert hat, ist, dass diese neue Form grundsätzlich anders ist … das zusammengefügte Stück in der Mitte bedeutet, dass zwei Scheitelpunkte auf 1 reduziert werden.
Euler-Charakteristik
F+V-E kann also gleich 2 sein, oder 1, und vielleicht auch andere Werte, also lautet die allgemeinere Formel
F + V – E = χ
Wobei χ die „Euler-Charakteristik“ genannt wird.
Hier sind ein paar Beispiele:
| Form | χ | |
|---|---|---|
| Sphere |  |
2 |
| Torus |  |
0 |
| Mobius-Streifen |  |
0 |
Und die Euler-Charakteristik kann auch kleiner als Null sein.
Dies ist das „Cubohemioctahedron“: Es hat 10 Flächen (es mag nach mehr aussehen, aber einige der „inneren“ Flächen sind in Wirklichkeit nur eine Fläche), 24 Kanten und 12 Scheitelpunkte, also:
F + V – E = -2
In der Tat ist die Euler-Charakteristik ein Grundgedanke der Topologie (die Lehre von der Natur des Raumes).
Donut und Kaffeetasse
(Animation mit freundlicher Genehmigung von
Wikipedia User:Kieff)
Schließlich wäre diese Diskussion unvollständig, wenn man nicht zeigen würde, dass ein Donut und eine Kaffeetasse wirklich dasselbe sind!
Nun, sie können ineinander verformt werden.
Wir sagen, die beiden Objekte sind „homöomorph“ (von griechisch homoios = identisch und morphe = Form)
Genau wie die platonischen Körper homöomorph zur Kugel sind.
Und dein Körper ist homöomorph zu einem Torus, wenn du deine Nase zudrückst.