MILLENNIUM PRIZE SERIES(ミレニアム賞)。 ミレニアム賞問題とは、2000年にクレイ数学研究所が提示した7つの数学の問題である。 これらは簡単なものではありません。1つでも正解すると、研究所から100万米ドルの賞金が授与されます。

ロシアの数学者グリゴリ・ペレルマンは、問題の一つであるポアンカレ予想を解き、昨年3月18日に賞を授与されました。 有名な話ですが、彼は 100 万ドルのミレニアム賞を辞退しました。

今後数週間にわたって、オーストラリア数学研究所 (AMSI) のメンバー機関の専門家が、これらの問題のそれぞれに光を当てます。 お楽しみください。

2000年にクレイ数学研究所が提示した数学の7つの問題の中に、私たちが住む物理世界の理解に根本的に関係するものがあります。

それは、19世紀に書き留められた方程式に基づく、ナヴィエ・ストークスの存在と一意性の問題です。

この受賞問題の解決は、もちろん自然界に遍在する流体の挙動に対する我々の理解に大きな影響を与えることでしょう。 空気と水は最もよく知られた流体であり、それらがどのように動き、どのように振る舞うかは、科学の誕生以来、科学者や数学者を魅了し続けてきました。

しかし、いわゆるナヴィエ・ストークス方程式とは何なのでしょうか。 何を記述しているのでしょうか？

方程式

ナヴィエ・ストークス方程式とその導出を理解するためには、かなりの数学的訓練と基礎物理学の健全な理解が必要です。

それがなければ、非常に簡単な基本をもとに、大まかな一般論で話をしなければなりませんが、この基本方程式にどのようにして到達したのか、また問題の重要性を読者に理解してもらうのに十分でしょう。

ここからは、ナヴィエ・ストークス方程式を「方程式」と呼ぶことにします。

流体の運動を支配する方程式は、最も簡単に言えば、流体の塊（空気、水、またはよりエキゾチックな流体であろうと）の運動に適用されるニュートンの運動第二法則の記述です。 ニュートンの第二法則は次のように言っています。

質量×加速度＝身体に働く力

流体の場合、「質量」は流体本体の質量であり、「加速度」は特定の流体粒子の加速度であり、「身体に働く力」は流体に働く力の合計である。

詳細は省きますが、ニュートンの第2法則は流体の速度の変化率と流体に働く力を関連付ける微分方程式系を生成することをここで述べることが可能です。 私たちは、流体に適用されるもう 1 つの物理的制約を必要としますが、これは最も簡単に言うと、

Mass is conserved! – すなわち、流体は我々のシステムから現れたり消えたりしない。

解法

ナヴィエ・ストークス方程式が何であるかを理解することによって、ミレニアム賞の解法がなぜそれほど重要であるかを議論することができるようになります。 賞の問題は2つの部分に分けることができる。 1つは方程式の解の存在に注目するものです。 もうひとつは、解が有限であるかどうかということです。

この2つの構成要素について正確な数学的説明をすることは不可能なので、この問題の2つの部分を物理的な文脈に置いてみることにします。

1）数学的モデルが、どんなに複雑であっても、我々が理解しようとしている物理世界を表現するためには、そのモデルはまず解を持たなければならない。

一見したところ、これは少し奇妙な発言に思えますが、解があるかどうかわからない方程式をなぜ研究するのでしょうか。 実際には、多くの物理的に関連し、重要な流体の流れに優れた一致をもたらす多くの解を私たちは知っています。

しかし、これらの解は完全なナヴィエ ストークス方程式の解の近似です (近似は、通常、利用できる簡単な数学式がないため、数値近似を使ってコンピューターで方程式を解くことに頼らざるを得ません)。

私たちは自分たちの（近似）解が正しいことに非常に自信を持っていますが、解の存在に関する正式な数学的証明が不足しているのです。 これがミレニアム賞の課題の第一部である。

2)は、ナヴィエ・ストークス方程式の解が特異になるか（無限に成長するか）、という問題です。

これを説明するためには、ここでも多くの数学が必要になります。 しかし、なぜこれが重要な問題なのかを検討することはできます。

「自然は真空を嫌う」という古いことわざがあります。 これは現代では、物理学者スティーブン・ホーキングがブラックホールについて言及しながら、「自然は裸の特異点を嫌う」と主張していることと類似しています。 この場合の特異点とは、ブラックホールに向かって物体を引っ張る重力が（現在の理論では）無限大になる点を指している。

ナヴィエ・ストークス方程式が、さまざまな条件下での流体の動きを記述していると考えるなら、特異点は、まだ知られていない重要な物理を見逃している可能性があることを意味します。 なぜか？ 数学は無限大を扱わないからです。

流体力学の歴史には、ナヴィエ・ストークス方程式の簡略化した解の中に、特異解をもたらすものが散見されます。 このような場合、特異解は、これまで簡略化されたモデルでは考慮されなかった新しい物理を示唆していることが多い。

この新しい物理を特定することで、研究者は数学モデルをさらに改良し、モデルと現実との一致を改善することができました。

多くの人が信じているように、ナヴィエ・ストークス方程式が特異解を持っているなら、次のミレニアム賞は、特異解を取り除くために必要な新しい物理を発見した人に贈られるかもしれませんね。

そうすれば、すべての流体力学者がすでにそうしているように、自然も、クロード=ルイ・ナヴィエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって受け継がれた方程式を喜ぶようになることでしょう。

• 第二部：ミレニアム賞：ホッジ予想
• 第三部：ミレニアム賞：ホッジ予想。 ミレニアム賞 P vs NP