SÉRIE DES PRIX DU MILLÉNAIRE : Les problèmes du prix du millénaire sont sept problèmes de mathématiques énoncés par l’Institut mathématique Clay en 2000. Ils ne sont pas faciles – une solution correcte à l’un d’entre eux entraîne l’attribution d’un prix de 1 000 000 de dollars US par l’institut.

Le mathématicien russe Grigori Perelman a reçu le prix le 18 mars dernier pour avoir résolu l’un des problèmes, la conjecture de Poincaré – jusqu’à présent le seul problème résolu. Célèbre, il a refusé le prix du millénaire de 1 000 000 $.

Au cours des prochaines semaines, chacun de ces problèmes sera éclairé par des experts des institutions membres de l’Institut australien des sciences mathématiques (AMSI).

Voici le professeur Jim Denier qui explique le problème d’existence et d’unicité de Navier-Stokes. Appréciez.

Parmi les sept problèmes de mathématiques mis en avant par le Clay Mathematics Institute en 2000, il y en a un qui se rapporte de manière fondamentale à notre compréhension du monde physique dans lequel nous vivons.

C’est le problème d’existence et d’unicité de Navier-Stokes, basé sur des équations écrites au 19ème siècle.

La solution de ce problème de prix aurait un impact profond sur notre compréhension du comportement des fluides qui, bien sûr, sont omniprésents dans la nature. L’air et l’eau sont les fluides les plus reconnaissables ; la façon dont ils se déplacent et se comportent a fasciné les scientifiques et les mathématiciens depuis la naissance de la science.

Mais quelles sont les équations dites de Navier-Stokes ? Que décrivent-elles ?

Les équations

Pour comprendre les équations de Navier-Stokes et leur dérivation, il faut une formation mathématique considérable et aussi une bonne compréhension de la physique de base.

Sans cela, nous devons nous appuyer sur des bases très simples et parler en termes de grandes généralités – mais cela devrait être suffisant pour donner au lecteur une idée de la façon dont nous arrivons à ces équations fondamentales, et de l’importance des questions.

À partir de ce point, je me référerai aux équations de Navier-Stokes comme « les équations ».

Les équations régissant le mouvement d’un fluide sont le plus simplement décrites comme un énoncé de la deuxième loi du mouvement de Newton telle qu’elle s’applique au mouvement d’une masse de fluide (que ce soit de l’air, de l’eau ou un fluide plus exotique). La deuxième loi de Newton stipule que :

Masse x Accélération = Force agissant sur un corps

Pour un fluide, la « masse » est la masse du corps fluide ; l' »accélération » est l’accélération d’une particule de fluide particulière ; les « forces agissant sur le corps » sont les forces totales agissant sur notre fluide.

Sans entrer dans tous les détails, il est possible d’affirmer ici que la deuxième loi de Newton produit un système d’équations différentielles reliant les taux de changement de la vitesse du fluide aux forces agissant sur le fluide. Nous avons besoin d’une autre contrainte physique à appliquer sur notre fluide, qui peut être plus simplement énoncée comme:

La masse est conservée ! – c’est-à-dire que le fluide n’apparaît ni ne disparaît de notre système.

La solution

Avoir une idée de ce que sont les équations de Navier-Stokes nous permet de discuter de la raison pour laquelle la solution du prix du Millénaire est si importante. Le problème du prix peut être divisé en deux parties. La première se concentre sur l’existence de solutions aux équations. La seconde se concentre sur le fait de savoir si ces solutions sont bornées (restent finies).

Il n’est pas possible de donner une description mathématique précise de ces deux composantes, je vais donc essayer de placer les deux parties du problème dans un contexte physique.

1) Pour qu’un modèle mathématique, aussi compliqué soit-il, puisse représenter le monde physique que nous essayons de comprendre, le modèle doit d’abord avoir des solutions.

A première vue, cette affirmation semble un peu étrange – pourquoi étudier des équations si nous ne sommes pas sûrs qu’elles ont des solutions ? En pratique, nous connaissons de nombreuses solutions qui fournissent un excellent accord avec de nombreux écoulements de fluides physiquement pertinents et importants.

Mais ces solutions sont des approximations des solutions des équations complètes de Navier-Stokes (l’approximation vient du fait qu’il n’y a, habituellement, aucune formule mathématique simple disponible – nous devons recourir à la résolution des équations sur un ordinateur en utilisant des approximations numériques).

Bien que nous soyons très confiants que nos solutions (approximatives) soient correctes, il manque une preuve mathématique formelle de l’existence des solutions. Cela fournit la première partie du défi du prix du millénaire.

2) La deuxième partie demande si les solutions des équations de Navier-Stokes peuvent devenir singulières (ou croître sans limite).

Encore, beaucoup de mathématiques sont nécessaires pour expliquer cela. Mais nous pouvons examiner pourquoi cette question est importante.

Il y a un vieux dicton qui dit que « la nature a horreur du vide ». Cela a un parallèle moderne dans l’affirmation du physicien Stephen Hawking, tout en faisant référence aux trous noirs, que « la nature a horreur d’une singularité nue ». La singularité, dans ce cas, fait référence au point où les forces gravitationnelles – tirant les objets vers un trou noir – semblent (selon nos théories actuelles) devenir infinies.

Dans le contexte des équations de Navier-Stokes, et notre conviction qu’elles décrivent le mouvement des fluides dans un large éventail de conditions, une singularité indiquerait que nous pourrions avoir manqué une physique importante, encore inconnue. Pourquoi ? Parce que les mathématiques ne traitent pas de l’infini.

L’histoire de la mécanique des fluides est parsemée de solutions de versions simplifiées des équations de Navier-Stokes qui donnent des solutions singulières. Dans de tels cas, les solutions singulières ont souvent fait allusion à une nouvelle physique qui n’avait pas été prise en compte auparavant dans les modèles simplifiés.

L’identification de cette nouvelle physique a permis aux chercheurs d’affiner davantage leurs modèles mathématiques et d’améliorer ainsi l’accord entre le modèle et la réalité.

Si, comme beaucoup le croient, les équations de Navier-Stokes possèdent effectivement des solutions singulières, alors peut-être que le prochain prix du millénaire ira à la personne qui découvrira justement quelle nouvelle physique est nécessaire pour supprimer la singularité.

Alors la nature pourra, comme le font déjà tous les mécaniciens des fluides, venir se délecter des équations qui nous ont été transmises par Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes.

Ceci est la première partie de la série des prix du millénaire. Pour lire les autres volets, suivez les liens ci-dessous.

• Deuxième partie : Prix du millénaire : la conjecture de Hodge
• Troisième partie : Prix du millénaire : P vs NP

.