SERIILE PREMIILOR MILENIULUI: Problemele Premiului Mileniului sunt șapte probleme de matematică stabilite de Clay Mathematics Institute în anul 2000. Ele nu sunt ușoare – o soluție corectă la oricare dintre ele duce la acordarea unui premiu de 1.000.000 USD de către institut.

Matematicianul rus Grigori Perelman a primit premiul pe 18 martie anul trecut pentru rezolvarea uneia dintre probleme, conjectura lui Poincaré – deocamdată singura problemă care a fost rezolvată. Celebru, el a refuzat Premiul Mileniului în valoare de 1.000.000 de dolari.

În săptămânile următoare, fiecare dintre aceste probleme va fi luminată de experți din instituțiile membre ale Institutului Australian de Științe Matematice (AMSI).

Aici, profesorul Jim Denier explică problema existenței și unicității lui Navier-Stokes. Distracție plăcută.

Printre cele șapte probleme de matematică înaintate de Institutul de Matematică Clay în anul 2000 se numără una care se referă într-un mod fundamental la înțelegerea lumii fizice în care trăim.

Este vorba de problema existenței și unicității lui Navier-Stokes, bazată pe ecuații scrise în secolul al XIX-lea.

Soluția acestei probleme premiate ar avea un impact profund asupra înțelegerii noastre a comportamentului fluidelor care, desigur, sunt omniprezente în natură. Aerul și apa sunt fluidele cele mai ușor de recunoscut; modul în care acestea se mișcă și se comportă a fascinat oamenii de știință și matematicienii încă de la nașterea științei.

Dar ce sunt așa-numitele ecuații Navier-Stokes? Ce descriu ele?

Ecuațiile

Pentru a înțelege ecuațiile Navier-Stokes și derivarea lor avem nevoie de o pregătire matematică considerabilă și, de asemenea, de o bună înțelegere a fizicii de bază.

În lipsa acestora, trebuie să ne bazăm pe niște noțiuni de bază foarte simple și să vorbim în termeni de mari generalități – dar acest lucru ar trebui să fie suficient pentru a da cititorului o idee despre cum ajungem la aceste ecuații fundamentale și despre importanța întrebărilor.

Din acest moment, mă voi referi la ecuațiile Navier-Stokes ca fiind „ecuațiile”.

Ecuațiile care guvernează mișcarea unui fluid sunt descrise cel mai simplu ca o enunțare a celei de-a doua legi a mișcării a lui Newton, așa cum se aplică la mișcarea unei mase de fluid (fie că este vorba de aer, apă sau un fluid mai exotic). A doua lege a lui Newton afirmă că:

Masă x accelerație = Forța care acționează asupra unui corp

Pentru un fluid, „masa” este masa corpului fluidului; „accelerația” este accelerația unei particule particulare de fluid; „forțele care acționează asupra corpului” sunt forțele totale care acționează asupra fluidului nostru.

Fără a intra în toate detaliile, este posibil să afirmăm aici că a doua lege a lui Newton produce un sistem de ecuații diferențiale care relaționează ratele de variație a vitezei fluidului cu forțele care acționează asupra fluidului. Mai avem nevoie de încă o constrângere fizică care să fie aplicată fluidului nostru, care poate fi enunțată cel mai simplu ca:

Masa se conservă! – adică fluidul nu apare și nici nu dispare din sistemul nostru.

Soluția

Dobținând o idee despre ce sunt ecuațiile Navier-Stokes ne permite să discutăm de ce soluția Premiului Mileniului este atât de importantă. Problema premiului poate fi împărțită în două părți. Prima se concentrează pe existența soluțiilor la ecuații. Cea de-a doua se concentrează pe faptul dacă aceste soluții sunt delimitate (rămân finite).

Nu este posibil să oferim o descriere matematică precisă a acestor două componente, așa că voi încerca să plasez cele două părți ale problemei într-un context fizic.

1) Pentru ca un model matematic, oricât de complicat ar fi, să reprezinte lumea fizică pe care încercăm să o înțelegem, modelul trebuie mai întâi să aibă soluții.

La prima vedere, aceasta pare o afirmație ușor ciudată – de ce să studiem ecuații dacă nu suntem siguri că acestea au soluții? În practică, cunoaștem multe soluții care oferă un acord excelent cu multe curgeri de fluide relevante și importante din punct de vedere fizic.

Dar aceste soluții sunt aproximări ale soluțiilor ecuațiilor Navier-Stokes complete (aproximarea apare pentru că, de obicei, nu există formule matematice simple disponibile – trebuie să recurgem la rezolvarea ecuațiilor pe un calculator folosind aproximări numerice).

Deși suntem foarte încrezători că soluțiile noastre (aproximative) sunt corecte, lipsește o dovadă matematică formală a existenței soluțiilor. Aceasta oferă prima parte a provocării Premiului Mileniului.

2) A doua parte întreabă dacă soluțiile ecuațiilor Navier-Stokes pot deveni singulare (sau pot crește fără limită).

Din nou, este nevoie de multă matematică pentru a explica acest lucru. Dar putem examina de ce aceasta este o întrebare importantă.

Există o veche zicală care spune că „natura detestă vidul”. Acest lucru are o paralelă modernă în afirmația fizicianului Stephen Hawking, în timp ce se referă la găurile negre, că „natura detestă o singularitate goală”. Singularitatea, în acest caz, se referă la punctul în care forțele gravitaționale – care atrag obiectele spre o gaură neagră – par (conform teoriilor noastre actuale) să devină infinite.

În contextul ecuațiilor Navier-Stokes și al convingerii noastre că acestea descriu mișcarea fluidelor într-o gamă largă de condiții, o singularitate ar indica faptul că s-ar putea să ne fi scăpat ceva important, încă necunoscut, din fizică. De ce? Pentru că matematica nu se ocupă cu infinitele.

Istoria mecanicii fluidelor este presărată cu soluții ale unor versiuni simplificate ale ecuațiilor Navier-Stokes care dau soluții singulare. În astfel de cazuri, soluțiile singulare au făcut adesea aluzie la o fizică nouă care nu fusese luată în considerare anterior în modelele simplificate.

Identificarea acestei noi fizici a permis cercetătorilor să își rafineze în continuare modelele matematice și să îmbunătățească astfel concordanța dintre model și realitate.

Dacă, așa cum mulți cred, ecuațiile Navier-Stokes posedă într-adevăr soluții singulare, atunci poate că următorul Premiu al Mileniului va fi acordat persoanei care descoperă exact ce fizică nouă este necesară pentru a elimina singularitatea.

Atunci natura poate, așa cum fac deja toți mecanicii fluidelor, să ajungă să se bucure de ecuațiile transmise nouă de Claude-Louis Navier și George Gabriel Stokes.

Aceasta este prima parte a seriei Premiul Mileniului. Pentru a citi celelalte părți, urmați linkurile de mai jos.

• Partea a doua: Premiul Mileniului: Conjectura lui Hodge
• Partea a treia: Premiul Mileniului: P vs NP