Millenniumprisserie: Millenniumprisproblemen är sju matematiska problem som lades fram av Clay Mathematics Institute år 2000. De är inte lätta – en korrekt lösning på något av dem leder till att institutet delar ut ett pris på 1 000 000 US-dollar.

Den ryska matematikern Grigori Perelman tilldelades priset den 18 mars förra året för att ha löst ett av problemen, Poincarés gissning, som hittills är det enda problemet som har lösts. Han tackade nej till millenniepriset på 1 000 000 dollar.

Under de kommande veckorna kommer vart och ett av dessa problem att belysas av experter från de institutioner som är medlemmar i Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Här förklarar professor Jim Denier Navier-Stokes existens- och unikhetsproblem. Njut.

Av de sju problem inom matematiken som lades fram av Clay Mathematics Institute år 2000 finns ett som på ett grundläggande sätt har samband med vår förståelse av den fysiska värld vi lever i.

Det är Navier-Stokes existens- och unikhetsproblem, som bygger på ekvationer som skrevs ner på 1800-talet.

Lösningen av detta prisbelönta problem skulle ha en djupgående inverkan på vår förståelse av hur vätskor beter sig, som naturligtvis är allestädes närvarande i naturen. Hur de rör sig och beter sig har fascinerat forskare och matematiker sedan vetenskapens födelse.

Men vad är de så kallade Navier-Stokes-ekvationerna? Vad beskriver de?

Ekvationerna

För att förstå Navier-Stokes ekvationer och deras härledning behöver vi en avsevärd matematisk utbildning och även en god förståelse för grundläggande fysik.

Och utan detta måste vi använda oss av några mycket enkla grunder och tala i termer av breda generaliseringar – men det bör räcka för att ge läsaren en känsla av hur vi kommer fram till dessa grundläggande ekvationer och frågornas betydelse.

Från och med nu kommer jag att referera till Navier-Stokes ekvationer som ”ekvationerna”.

De ekvationer som styr en vätskas rörelse kan enklast beskrivas som en redogörelse för Newtons andra rörelselag som den gäller för rörelsen av en vätskemassa (oavsett om det är luft, vatten eller en mer exotisk vätska). Newtons andra lag säger att:

Massa x acceleration = kraft som verkar på en kropp

För en vätska är ”massan” vätskekroppens massa; ”accelerationen” är accelerationen för en viss vätskepartikel; ”krafterna som verkar på kroppen” är de totala krafter som verkar på vår vätska.

Och utan att gå in på alla detaljer kan man här konstatera att Newtons andra lag ger upphov till ett system av differentialekvationer som relaterar hastighetsförändringar i en vätskas hastighet till de krafter som verkar på vätskan. Vi behöver en annan fysisk begränsning som tillämpas på vår vätska, vilket enklast kan sägas vara:

Massan är bevarad! – D.v.s. vätskan varken dyker upp eller försvinner från vårt system.

Lösningen

Med en känsla för vad Navier-Stokes ekvationer är kan vi diskutera varför Millenniumprisets lösning är så viktig. Prisproblemet kan delas in i två delar. Den första fokuserar på förekomsten av lösningar till ekvationerna. Den andra handlar om huruvida dessa lösningar är begränsade (förblir ändliga).

Det är inte möjligt att ge en exakt matematisk beskrivning av dessa två delar så jag ska försöka placera de två delarna av problemet i ett fysiskt sammanhang.

1) För att en matematisk modell, hur komplicerad den än är, ska kunna representera den fysiska värld vi försöker förstå måste modellen först ha lösningar.

Om man ser det här vid första anblicken verkar detta vara ett något märkligt påstående – varför studera ekvationer om vi inte är säkra på att de har lösningar? I praktiken känner vi till många lösningar som ger utmärkt överensstämmelse med många fysiskt relevanta och viktiga vätskeflöden.

Men dessa lösningar är approximationer av lösningarna av de fullständiga Navier-Stokes-ekvationerna (approximationen beror på att det vanligtvis inte finns några enkla matematiska formler att tillgå – vi måste tillgripa numeriska approximationer för att lösa ekvationerna på en dator).

Och även om vi är mycket övertygade om att våra (approximativa) lösningar är korrekta, saknas ett formellt matematiskt bevis för att lösningarna existerar. Detta utgör den första delen av millennieprisets utmaning.

2) I den andra delen ställs frågan om lösningarna till Navier-Stokes ekvationer kan bli singulära (eller växa utan gräns).

Även här krävs en hel del matematik för att förklara detta. Men vi kan undersöka varför detta är en viktig fråga.

Det finns ett gammalt ordspråk som säger att ”naturen avskyr vakuum”. Detta har en modern parallell i fysikern Stephen Hawkings påstående, när han hänvisar till svarta hål, att ”naturen avskyr en naken singularitet”. Singularitet avser i detta fall den punkt där gravitationskrafterna – som drar föremål mot ett svart hål – verkar (enligt våra nuvarande teorier) bli oändliga.

I samband med Navier-Stokes ekvationer, och vår tro att de beskriver rörelsen hos vätskor under ett brett spektrum av förhållanden, skulle en singularitet tyda på att vi kanske har missat en viktig, ännu okänd, fysik. Varför det? Därför att matematiken inte handlar om oändligheter.

Flödesmekanikens historia är späckad med lösningar av förenklade versioner av Navier-Stokes ekvationer som ger singulära lösningar. I sådana fall har de singulära lösningarna ofta antytt någon ny fysik som tidigare inte beaktats i de förenklade modellerna.

Att identifiera denna nya fysik har gjort det möjligt för forskarna att ytterligare förfina sina matematiska modeller och på så sätt förbättra överensstämmelsen mellan modell och verklighet.

Om Navier-Stokes ekvationer har singulära lösningar, vilket många tror, kanske nästa millenniepris kommer att gå till den person som upptäcker vilken ny fysik som krävs för att ta bort singulariteten.

Sedan kan naturen, som alla strömningsmekaniker redan gör, glädja sig åt de ekvationer som Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes överlämnade till oss.

Detta är den första delen av Millennium Prize Series. För att läsa de andra delarna, följ länkarna nedan.

• Del två: Millenniumpriset: the Hodge Conjecture
• Del tre: Millennium Prize: P vs NP