MILLENNIUMSPREIS-SERIE: Bei den Millenniumspreis-Problemen handelt es sich um sieben mathematische Probleme, die im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute gestellt wurden. Sie sind nicht einfach – die richtige Lösung eines dieser Probleme führt zu einem Preisgeld von 1.000.000 US-Dollar, das vom Institut vergeben wird.

Der russische Mathematiker Grigori Perelman erhielt den Preis am 18. März letzten Jahres für die Lösung eines der Probleme, der Poincaré-Vermutung – bisher das einzige Problem, das gelöst wurde. Den mit 1.000.000 Dollar dotierten Millenniumspreis lehnte er bekanntlich ab.

In den kommenden Wochen wird jedes dieser Probleme von Experten der Mitgliedsinstitute des Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI) beleuchtet.

Hier erklärt Professor Jim Denier das Navier-Stokes Existenz- und Eindeutigkeitsproblem. Viel Spaß.

Zu den sieben Problemen in der Mathematik, die das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 vorschlug, gehört auch eines, das sich in grundlegender Weise auf unser Verständnis der physikalischen Welt bezieht, in der wir leben.

Es handelt sich um das Existenz- und Eindeutigkeitsproblem von Navier-Stokes, das auf Gleichungen beruht, die im 19. Jahrhundert niedergeschrieben wurden.

Die Lösung dieses Preisproblems hätte einen tiefgreifenden Einfluss auf unser Verständnis des Verhaltens von Flüssigkeiten, die in der Natur natürlich allgegenwärtig sind. Luft und Wasser sind die bekanntesten Flüssigkeiten; wie sie sich bewegen und verhalten, hat Wissenschaftler und Mathematiker seit den Anfängen der Wissenschaft fasziniert.

Aber was sind die sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen? Was beschreiben sie?

Die Gleichungen

Um die Navier-Stokes-Gleichungen und ihre Herleitung zu verstehen, braucht man eine gute mathematische Ausbildung und auch ein gutes Verständnis der physikalischen Grundlagen.

Ansonsten müssen wir uns auf einige sehr einfache Grundlagen stützen und in groben Zügen sprechen – aber das sollte ausreichen, um dem Leser ein Gefühl dafür zu vermitteln, wie wir zu diesen grundlegenden Gleichungen kommen und wie wichtig die Fragen sind.

Von diesem Punkt an werde ich die Navier-Stokes-Gleichungen als „die Gleichungen“ bezeichnen.

Die Gleichungen, die die Bewegung eines Fluids regeln, lassen sich am einfachsten als eine Erklärung des zweiten Newtonschen Bewegungsgesetzes beschreiben, wie es für die Bewegung einer Fluidmasse (sei es Luft, Wasser oder ein exotischeres Fluid) gilt. Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass:

Masse x Beschleunigung = Kraft, die auf einen Körper wirkt

Für eine Flüssigkeit ist die „Masse“ die Masse des Flüssigkeitskörpers; die „Beschleunigung“ ist die Beschleunigung eines bestimmten Flüssigkeitsteilchens; die „auf den Körper wirkenden Kräfte“ sind die gesamten Kräfte, die auf unsere Flüssigkeit wirken.

Ohne ins Detail zu gehen, kann man hier feststellen, dass das Zweite Newtonsche Gesetz ein System von Differentialgleichungen erzeugt, das die Änderungsraten der Flüssigkeitsgeschwindigkeit mit den auf die Flüssigkeit wirkenden Kräften in Beziehung setzt. Wir benötigen noch eine weitere physikalische Bedingung für unser Fluid, die sich am einfachsten wie folgt ausdrücken lässt:

Masse ist konserviert! – d.h. das Fluid erscheint weder noch verschwindet es aus unserem System.

Die Lösung

Wenn wir wissen, was die Navier-Stokes-Gleichungen sind, können wir erörtern, warum die Lösung des Millenniumspreises so wichtig ist. Das Preisproblem kann in zwei Teile aufgeteilt werden. Der erste Teil befasst sich mit der Existenz von Lösungen für die Gleichungen. Der zweite konzentriert sich darauf, ob diese Lösungen begrenzt sind (endlich bleiben).

Eine genaue mathematische Beschreibung dieser beiden Komponenten ist nicht möglich, daher werde ich versuchen, die beiden Teile des Problems in einen physikalischen Kontext zu stellen.

1) Damit ein mathematisches Modell, wie kompliziert es auch sein mag, die physikalische Welt, die wir zu verstehen versuchen, darstellen kann, muss das Modell zunächst Lösungen haben.

Auf den ersten Blick scheint dies eine etwas seltsame Aussage zu sein – warum sollten wir Gleichungen untersuchen, wenn wir nicht sicher sind, dass sie Lösungen haben? In der Praxis kennen wir viele Lösungen, die mit vielen physikalisch relevanten und wichtigen Strömungen hervorragend übereinstimmen.

Aber diese Lösungen sind Annäherungen an die Lösungen der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen (die Annäherung kommt zustande, weil in der Regel keine einfachen mathematischen Formeln zur Verfügung stehen – wir müssen darauf zurückgreifen, die Gleichungen auf einem Computer unter Verwendung numerischer Näherungen zu lösen).

Obwohl wir sehr zuversichtlich sind, dass unsere (angenäherten) Lösungen korrekt sind, fehlt ein formaler mathematischer Beweis für die Existenz der Lösungen. Darin besteht der erste Teil der Herausforderung des Millenniumspreises.

2) Der zweite Teil fragt, ob die Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen singulär werden können (oder unbegrenzt wachsen).

Auch hier ist eine Menge Mathematik erforderlich, um dies zu erklären. Aber wir können untersuchen, warum dies eine wichtige Frage ist.

Es gibt ein altes Sprichwort: „Die Natur verabscheut ein Vakuum“. Eine moderne Parallele findet sich in der Aussage des Physikers Stephen Hawking, der in Bezug auf schwarze Löcher sagte: „Die Natur verabscheut eine nackte Singularität“. Singularität bezieht sich in diesem Fall auf den Punkt, an dem die Gravitationskräfte – die Objekte in Richtung eines Schwarzen Lochs ziehen – nach unseren derzeitigen Theorien unendlich zu werden scheinen.

Im Zusammenhang mit den Navier-Stokes-Gleichungen und unserer Überzeugung, dass sie die Bewegung von Flüssigkeiten unter einer Vielzahl von Bedingungen beschreiben, würde eine Singularität darauf hindeuten, dass wir möglicherweise eine wichtige, noch unbekannte physikalische Tatsache übersehen haben. Warum? Weil die Mathematik nicht mit Unendlichkeiten arbeitet.

Die Geschichte der Strömungsmechanik ist gespickt mit Lösungen von vereinfachten Versionen der Navier-Stokes-Gleichungen, die singuläre Lösungen ergeben. In solchen Fällen haben die singulären Lösungen oft auf eine neue Physik hingedeutet, die in den vereinfachten Modellen bisher nicht berücksichtigt wurde.

Die Identifizierung dieser neuen Physik hat es den Forschern ermöglicht, ihre mathematischen Modelle weiter zu verfeinern und so die Übereinstimmung zwischen Modell und Realität zu verbessern.

Wenn, wie viele glauben, die Navier-Stokes-Gleichungen tatsächlich singuläre Lösungen besitzen, dann geht der nächste Millenniumspreis vielleicht an die Person, die herausfindet, welche neue Physik erforderlich ist, um die Singularität zu beseitigen.

Dann kann sich die Natur, wie es alle Strömungsmechaniker bereits tun, an den Gleichungen erfreuen, die uns von Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes überliefert wurden.

Dies ist der erste Teil der Millenniumspreis-Serie. Um die anderen Teile zu lesen, folgen Sie den Links unten.

• Zweiter Teil: Millenniumspreis: die Hodge-Vermutung
• Dritter Teil: Millennium Prize: P gegen NP