MILLENNIUM PRIZE SERIES: Os Problemas do Prémio Millennium são sete problemas matemáticos apresentados pelo Instituto de Matemática do Barro, em 2000. Eles não são fáceis – uma solução correta para qualquer um resulta na atribuição de um prêmio de US$1.000.000 por parte do instituto.

O matemático russo Grigori Perelman foi premiado em 18 de março do ano passado por resolver um dos problemas, a conjectura de Poincaré – até agora o único problema que foi resolvido. Famosamente, ele recusou o Prémio Milénio de $1.000.000.000.

Nas próximas semanas, cada um destes problemas será iluminado por especialistas das instituições membros do Instituto Australiano de Ciências Matemáticas (AMSI).

Aqui o Professor Jim Denier explica a existência do Navier-Stokes e o problema da singularidade. Aproveite.

Dentre os sete problemas em matemática apresentados pelo Clay Mathematics Institute em 2000 é um que se relaciona de forma fundamental com a nossa compreensão do mundo físico em que vivemos.

É o problema da existência e singularidade do Navier-Stokes, baseado em equações escritas no século XIX.

A solução deste problema de prémios teria um impacto profundo na nossa compreensão do comportamento dos fluidos que, naturalmente, são omnipresentes na natureza. O ar e a água são os fluidos mais reconhecíveis; como eles se movem e se comportam tem fascinado cientistas e matemáticos desde o nascimento da ciência.

Mas quais são as chamadas equações Navier-Stokes? O que é que elas descrevem?

As equações

Para compreender as equações de Navier-Stokes e a sua derivação precisamos de um treino matemático considerável e também de uma sólida compreensão da física básica.

Sem isso, devemos nos basear em alguns conceitos básicos muito simples e falar em termos de amplas generalidades – mas isso deve ser suficiente para dar ao leitor um sentido de como chegamos a essas equações fundamentais, e a importância das questões.

A partir deste ponto, vou referir-me às equações de Navier-Stokes como “as equações”.

As equações que governam o movimento de um fluido são mais simplesmente descritas como uma declaração da Segunda Lei do Movimento de Newton, uma vez que se aplica ao movimento de uma massa de fluido (quer seja ar, água ou um fluido mais exótico). A Segunda Lei de Newton afirma isso:

Massa x Aceleração = Força agindo sobre um corpo

Para um fluido a “massa” é a massa do corpo fluido; a “aceleração” é a aceleração de uma partícula particular do fluido; as “forças agindo sobre o corpo” são as forças totais agindo sobre o nosso fluido.

Sem entrar em detalhes completos, é possível afirmar aqui que a Segunda Lei de Newton produz um sistema de equações diferenciais que relacionam as taxas de variação da velocidade do fluido com as forças que agem sobre o fluido. Exigimos que uma outra restrição física seja aplicada ao nosso fluido, que pode ser mais simplesmente declarada como:

Massa é conservada! – Ou seja, o fluido não aparece nem desaparece do nosso sistema.

A solução

Permitir uma noção do que as equações Navier-Stokes são permite-nos discutir porque é que a solução do Prémio Millennium é tão importante. O problema do prémio pode ser dividido em duas partes. A primeira centra-se na existência de soluções para as equações. A segunda concentra-se em saber se estas soluções são limitadas (permanecem finitas).

Não é possível dar uma descrição matemática precisa destes dois componentes, por isso vou tentar colocar as duas partes do problema num contexto físico.

1) Para um modelo matemático, por mais complicado que seja, para representar o mundo físico que estamos tentando entender, o modelo deve primeiro ter soluções.

À primeira vista, esta parece uma afirmação ligeiramente estranha – porquê estudar equações se não temos a certeza de que têm soluções? Na prática, conhecemos muitas soluções que proporcionam um excelente acordo com muitos fluxos de fluidos fisicamente relevantes e importantes.

Mas estas soluções são aproximações às soluções das equações completas Navier-Stokes (a aproximação surge porque não há, normalmente, fórmulas matemáticas simples disponíveis – temos de recorrer à resolução das equações num computador utilizando aproximações numéricas).

Embora estejamos muito confiantes de que as nossas soluções (aproximadas) estão correctas, falta uma prova matemática formal da existência de soluções. Isso constitui a primeira parte do desafio do Prémio Millennium.

2) A segunda parte pergunta se as soluções das equações Navier-Stokes podem tornar-se singulares (ou crescer sem limites).

Again, muita matemática é necessária para explicar isto. Mas podemos examinar porque é que esta é uma questão importante.

Há um velho ditado que diz que “a natureza abomina um vácuo”. Isto tem um paralelo moderno na afirmação do físico Stephen Hawking, enquanto se refere aos buracos negros, que “a natureza abomina uma singularidade nua”. Singularidade, neste caso, refere-se ao ponto em que as forças gravitacionais – puxando objetos em direção a um buraco negro – aparecem (de acordo com nossas teorias atuais) para se tornarem infinitas.

No contexto das equações Navier-Stokes, e nossa crença de que elas descrevem o movimento de fluidos sob uma ampla gama de condições, uma singularidade indicaria que poderíamos ter perdido alguma física importante, ainda desconhecida. Porquê? Porque a matemática não lida em infinitos.

A história da mecânica dos fluidos está repleta de soluções de versões simplificadas das equações Navier-Stokes que produzem soluções singulares. Nesses casos, as soluções singulares têm muitas vezes insinuado alguma nova física anteriormente não considerada nos modelos simplificados.

Identificar esta nova física permitiu que os investigadores aperfeiçoassem ainda mais os seus modelos matemáticos e assim melhorar a concordância entre modelo e realidade.

Se, como muitos acreditam, as equações Navier-Stokes possuem soluções singulares, talvez o próximo Prémio do Milénio vá para a pessoa que descobre qual a nova física necessária para remover a singularidade.

Então a natureza pode, como já fazem todos os mecânicos de fluidos, vir a deliciar-se com as equações que nos foram transmitidas por Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes.

Esta é a primeira parte da série de prémios Millennium. Para ler as outras prestações, siga os links abaixo.

• Parte Dois: Prémio Millennium: a Conjectura Hodge
• Parte Três: Prémio Milénio: P vs NP