MILLENNIUM PRIZE SERIES: Millennium Prize-problemerne er syv matematiske problemer, der blev opstillet af Clay Mathematics Institute i 2000. De er ikke nemme – en korrekt løsning på et af dem resulterer i en præmie på 1 000 000 USD, som uddeles af instituttet.

Den russiske matematiker Grigori Perelman fik prisen den 18. marts sidste år for at have løst et af problemerne, nemlig Poincarés formodning – det eneste problem, der endnu er blevet løst. Som bekendt afviste han millenniumprisen på 1 000 000 USD.

I løbet af de kommende uger vil hvert af disse problemer blive belyst af eksperter fra de institutioner, der er medlemmer af Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Her forklarer professor Jim Denier Navier-Stokes eksistens- og entydighedsproblem. God fornøjelse.

I blandt de syv matematiske problemer, som Clay Mathematics Institute fremlagde i 2000, er der et problem, som på en grundlæggende måde vedrører vores forståelse af den fysiske verden, vi lever i.

Det er Navier-Stokes eksistens- og entydighedsproblem, der er baseret på ligninger, som blev nedskrevet i det 19. århundrede.

Løsningen af dette prisbelønnede problem vil have en dybtgående indvirkning på vores forståelse af væskers adfærd, som naturligvis er allestedsnærværende i naturen. Luft og vand er de mest genkendelige væsker; hvordan de bevæger sig og opfører sig, har fascineret videnskabsmænd og matematikere siden videnskabens fødsel.

Men hvad er de såkaldte Navier-Stokes-ligninger? Hvad beskriver de?

Ligningerne

For at forstå Navier-Stokes-ligningerne og deres udledning skal vi have en betydelig matematisk uddannelse og også en solid forståelse af grundlæggende fysik.

Hvis det ikke er tilfældet, må vi trække på nogle meget enkle grundbegreber og tale i brede almindeligheder – men det skulle være tilstrækkeligt til at give læseren en fornemmelse af, hvordan vi når frem til disse fundamentale ligninger, og betydningen af spørgsmålene.

Fra dette punkt vil jeg omtale Navier-Stokes-ligningerne som “ligningerne”.

Ligningerne, der regulerer en væskes bevægelse, beskrives mest enkelt som en erklæring af Newtons anden bevægelseslov, som den gælder for bevægelsen af en væskemasse (hvad enten det er luft, vand eller en mere eksotisk væske). Newtons anden lov siger, at:

Masse x Acceleration = Kraft, der virker på et legeme

For en væske er “massen” væskekroppens masse; “accelerationen” er accelerationen af en bestemt væskepartikel; de “kræfter, der virker på legemet” er de samlede kræfter, der virker på vores væske.

Suden at gå ind i alle detaljer er det muligt her at konstatere, at Newtons anden lov frembringer et system af differentialligninger, der relaterer ændringshastighederne for væskens hastighed til de kræfter, der virker på væsken. Vi har brug for en anden fysisk begrænsning, som skal gælde for vores væske, og som mest simpelt kan formuleres som:

Massen er bevaret! – dvs. at væsken hverken dukker op eller forsvinder fra vores system.

Løsningen

Hvis vi har en fornemmelse af, hvad Navier-Stokes-ligningerne er, kan vi diskutere, hvorfor millenniumpris-løsningen er så vigtig. Prisproblemet kan opdeles i to dele. Den første fokuserer på eksistensen af løsninger til ligningerne. Den anden fokuserer på, om disse løsninger er afgrænsede (er begrænsede).

Det er ikke muligt at give en præcis matematisk beskrivelse af disse to komponenter, så jeg vil forsøge at placere de to dele af problemet i en fysisk sammenhæng.

1) For at en matematisk model, uanset hvor kompliceret den er, kan repræsentere den fysiske verden, som vi forsøger at forstå, må modellen først have løsninger.

Op det første øjekast virker dette som et lidt mærkeligt udsagn – hvorfor studere ligninger, hvis vi ikke er sikre på, at de har løsninger? I praksis kender vi mange løsninger, som giver en fremragende overensstemmelse med mange fysisk relevante og vigtige væskestrømme.

Men disse løsninger er tilnærmelser til løsningerne af de fuldstændige Navier-Stokes-ligninger (tilnærmelsen opstår, fordi der normalt ikke findes nogen enkle matematiske formler – vi må ty til at løse ligningerne på en computer ved hjælp af numeriske tilnærmelser).

Og selv om vi er meget sikre på, at vores (tilnærmede) løsninger er korrekte, mangler vi et formelt matematisk bevis for løsningernes eksistens. Dette udgør den første del af millenniumprisens udfordring.

2) Den anden del spørger, om løsningerne af Navier-Stokes-ligningerne kan blive singulære (eller vokse ubegrænset).

Der kræves igen en masse matematik for at forklare dette. Men vi kan undersøge, hvorfor dette er et vigtigt spørgsmål.

Der er et gammelt ordsprog, der siger, at “naturen afskyr et vakuum”. Dette har en moderne parallel i fysikeren Stephen Hawkings påstand, mens han henviser til sorte huller, om at “naturen afskyr en nøgen singularitet”. Singularitet henviser i dette tilfælde til det punkt, hvor gravitationskræfterne – der trækker objekter mod et sort hul – synes (ifølge vores nuværende teorier) at blive uendelige.

I forbindelse med Navier-Stokes-ligningerne og vores tro på, at de beskriver væskers bevægelse under en lang række forhold, ville en singularitet være et tegn på, at vi måske har overset noget vigtigt, endnu ukendt fysik. Hvorfor? Fordi matematikken ikke beskæftiger sig med uendelige mængder.

Flydemekanikkens historie er spækket med løsninger af forenklede versioner af Navier-Stokes-ligningerne, der giver singulære løsninger. I sådanne tilfælde har de singulære løsninger ofte antydet en ny fysik, som ikke tidligere var taget i betragtning i de forenklede modeller.

Identificeringen af denne nye fysik har gjort det muligt for forskerne at forfine deres matematiske modeller yderligere og dermed forbedre overensstemmelsen mellem model og virkelighed.

Hvis Navier-Stokes-ligningerne, som mange tror, har singulære løsninger, vil den næste årtusindpris måske gå til den person, der finder ud af, hvilken ny fysik der er nødvendig for at fjerne singulariteten.

Så kan naturen, som alle væskemekanikere allerede gør, komme til at glæde sig over de ligninger, som Claude-Louis Navier og George Gabriel Stokes har overleveret til os.

Dette er den første del af Millennium Prize Series. For at læse de andre dele, følg linkene nedenfor.

• Del to: Millennium Prize: the Hodge Conjecture
• Del tre: Millennium Prize: P vs NP