MILLENIUMI DÍJSOROZAT: A Millenniumi Díj problémái a Clay Matematikai Intézet által 2000-ben meghatározott hét matematikai probléma. Nem könnyűek – bármelyik helyes megoldása 1 000 000 dolláros díjat eredményez, amelyet az intézet ítél oda.

Grigori Perelman orosz matematikus tavaly március 18-án kapta meg a díjat az egyik probléma, a Poincaré-feltevés megoldásáért – ez eddig az egyetlen megoldott probléma. Híres, hogy visszautasította az 1 000 000 dolláros Millenniumi Díjat.

A következő hetekben az Ausztrál Matematikai Tudományos Intézet (AMSI) tagintézményeinek szakértői fogják megvilágítani az egyes problémákat.

Itt Jim Denier professzor magyarázza a Navier-Stokes létezési és egyediségi problémát. Jó szórakozást.

A Clay Matematikai Intézet által 2000-ben felvetett hét matematikai probléma között van egy olyan, amely alapvető módon kapcsolódik a fizikai világ megértéséhez, amelyben élünk.

Ez a Navier-Stokes létezési és egyediségi probléma, amely a 19. században leírt egyenleteken alapul.

A díjnyertes probléma megoldása mélyreható hatással lenne a természetben természetesen mindenütt jelenlévő folyadékok viselkedésének megértésére. A levegő és a víz a legismertebb folyadékok; mozgásuk és viselkedésük a tudomány születése óta lenyűgözi a tudósokat és a matematikusokat.

De mik is azok az úgynevezett Navier-Stokes-egyenletek? Mit írnak le?

Az egyenletek

A Navier-Stokes-egyenletek és levezetésük megértéséhez jelentős matematikai képzettségre és az alapvető fizikai ismeretek alapos ismeretére is szükségünk van.

Ezek hiányában nagyon egyszerű alapokra kell támaszkodnunk, és nagy általánosságokban kell beszélnünk – de ennek elegendőnek kell lennie ahhoz, hogy az olvasó megértse, hogyan jutunk el ezekhez az alapvető egyenletekhez, és a kérdések fontosságát.

Ezentúl a Navier-Stokes-egyenletekre “az egyenletek”-ként fogok hivatkozni.

A folyadék mozgását szabályozó egyenletek legegyszerűbben úgy írhatók le, mint Newton második mozgástörvényének megállapítása, ahogy az egy folyadéktömeg (legyen az levegő, víz vagy egy egzotikusabb folyadék) mozgására vonatkozik. Newton második törvénye kimondja, hogy:

Tömeg x Gyorsulás = Egy testre ható erő

Egy folyadék esetében a “tömeg” a folyadéktest tömege; a “gyorsulás” egy adott folyadékrészecske gyorsulása; a “testre ható erők” a folyadékunkra ható összes erő.

A teljes részletekbe való belemerülés nélkül itt megállapítható, hogy Newton második törvénye differenciálegyenlet-rendszert eredményez, amely a folyadék sebességváltozásának sebességét a folyadékra ható erőkkel hozza összefüggésbe. Szükségünk van még egy, a folyadékunkra vonatkozó fizikai kényszerre, amely a legegyszerűbben így fogalmazható meg:

A tömeg megmarad! – Vagyis a fluidum nem jelenik meg és nem is tűnik el a rendszerünkből.

A megoldás

Ha tudjuk, hogy mik a Navier-Stokes-egyenletek, akkor meg tudjuk beszélni, hogy miért olyan fontos a millenniumi díjas megoldás. A díjprobléma két részre bontható. Az első az egyenletek megoldásainak létezésére összpontosít. A második arra összpontosít, hogy ezek a megoldások korlátosak-e (végesek maradnak-e).

Ez a két komponens pontos matematikai leírása nem lehetséges, ezért megpróbálom a probléma két részét fizikai kontextusba helyezni.

1) Ahhoz, hogy egy matematikai modell, bármilyen bonyolult legyen is, reprezentálni tudja azt a fizikai világot, amit megpróbálunk megérteni, a modellnek először is megoldásokkal kell rendelkeznie.

Előső pillantásra ez kissé furcsa állításnak tűnik – miért tanulmányozzuk az egyenleteket, ha nem vagyunk biztosak benne, hogy vannak megoldásaik? A gyakorlatban számos olyan megoldást ismerünk, amelyek kiváló egyezést biztosítanak számos fizikailag releváns és fontos folyadékáramlással.

De ezek a megoldások a teljes Navier-Stokes-egyenletek megoldásainak közelítései (a közelítés azért jön létre, mert általában nem állnak rendelkezésre egyszerű matematikai képletek – az egyenletek számítógépes megoldásához kell folyamodnunk, numerikus közelítésekkel).

Noha nagyon biztosak vagyunk abban, hogy a (közelítő) megoldásaink helyesek, a megoldások létezésének formális matematikai bizonyítása hiányzik. Ez adja a Millenniumi Díj kihívásának első részét.

2) A második rész azt kérdezi, hogy a Navier-Stokes-egyenletek megoldásai lehetnek-e szingulárisak (vagy növekedhetnek-e korlátlanul).

Szintén sok matematikára van szükség ennek megmagyarázásához. De megvizsgálhatjuk, hogy miért fontos kérdés ez.

Van egy régi mondás, miszerint “a természet irtózik a vákuumtól”. Ennek modern párhuzama van Stephen Hawking fizikusnak a fekete lyukakra utaló állításában, miszerint “a természet irtózik a csupasz szingularitástól”. A szingularitás ebben az esetben arra a pontra utal, ahol a gravitációs erők – amelyek a fekete lyuk felé vonzzák a tárgyakat – (jelenlegi elméleteink szerint) végtelennek tűnnek.

A Navier-Stokes-egyenletek kontextusában, és abban a meggyőződésünkben, hogy azok a folyadékok mozgását írják le a körülmények széles skáláján, egy szingularitás azt jelezné, hogy esetleg kihagytunk valami fontos, még ismeretlen fizikai összefüggést. Miért? Mert a matematika nem foglalkozik végtelen számokkal.

A folyadékmechanika története tele van a Navier-Stokes-egyenletek egyszerűsített változatainak szinguláris megoldásokat eredményező megoldásaival. Ilyen esetekben a szinguláris megoldások gyakran utaltak valamilyen új fizikára, amelyet korábban az egyszerűsített modellekben nem vettek figyelembe.

Az új fizika azonosítása lehetővé tette a kutatók számára, hogy tovább finomítsák matematikai modelljeiket, és így javítsák a modell és a valóság közötti összhangot.

Ha, ahogy sokan hiszik, a Navier-Stokes-egyenletek valóban rendelkeznek szinguláris megoldásokkal, akkor talán a következő Millenniumi díjat az kapja, aki felfedezi, milyen új fizika szükséges a szingularitás megszüntetéséhez.

Akkor a természet, ahogyan már minden áramlástani szakember teszi, gyönyörködhet a Claude-Louis Navier és George Gabriel Stokes által ránk hagyományozott egyenletekben.

Ez a Millenniumi Díj sorozat első része. A többi rész elolvasásához kövesse az alábbi linkeket.

• Kettedik rész: Millenniumi díj: a Hodge-sejtés
• Harmadik rész: Millenniumi díj: P vs. NP