MILLENNIUM-palkintosarja: Millennium-palkinto-ongelmat ovat seitsemän matematiikan ongelmaa, jotka Clay Mathematics Institute asetti vuonna 2000. Ne eivät ole helppoja – oikean ratkaisun löytäminen johonkin niistä johtaa instituutin myöntämään 1 000 000 dollarin palkintoon.

Venäläinen matemaatikko Grigori Perelman sai palkinnon 18. maaliskuuta viime vuonna ratkaistessaan yhden ongelmista, Poincarén arvelun – toistaiseksi ainoan ratkaistun ongelman. Tunnetusti hän kieltäytyi 1 000 000 dollarin Millennium-palkinnosta.

Tulevien viikkojen aikana Australian Mathematical Sciences Instituten (AMSI) jäsenlaitosten asiantuntijat valaisevat kutakin näistä ongelmista.

Tässä professori Jim Denier selittää Navier-Stokesin olemassaolo- ja yksikäsitteisyysongelmaa. Nauttikaa.

Clay Mathematics Instituten vuonna 2000 esittämien seitsemän matematiikan ongelman joukossa on yksi, joka liittyy perustavanlaatuisella tavalla ymmärrykseemme fyysisestä maailmasta, jossa elämme.

Se on Navier-Stokesin olemassaolo- ja yksikäsitteisyysongelma, joka perustuu 1800-luvulla kirjoitettuihin yhtälöihin.

Tämän palkinto-ongelman ratkaisulla olisi syvällinen vaikutus ymmärrykseemme nesteiden käyttäytymisestä, jotka ovat luonnossa tietenkin kaikkialla läsnä. Ilma ja vesi ovat tunnetuimpia nesteitä; niiden liikkuminen ja käyttäytyminen on kiehtonut tiedemiehiä ja matemaatikkoja tieteen synnystä lähtien.

Mutta mitä ovat niin sanotut Navier-Stokesin yhtälöt? Mitä ne kuvaavat?

Yhtälöt

Ymmärtääksemme Navier-Stokesin yhtälöt ja niiden johtamisen tarvitsemme huomattavaa matemaattista koulutusta ja myös vankkaa ymmärrystä fysiikan perusteista.

Ilman tätä meidän on turvauduttava hyvin yksinkertaisiin perusasioihin ja puhuttava laajoista yleisistä käsitteistä – mutta tämän pitäisi riittää antamaan lukijalle käsityksen siitä, miten päädymme näihin perustavanlaatuisiin yhtälöihin, ja kysymysten tärkeydestä.

Tästä lähtien viittaan Navier-Stokesin yhtälöihin nimellä ”yhtälöt”.

Nesteen liikettä säätelevät yhtälöt kuvataan yksinkertaisimmin Newtonin toisen liikelain lausumana, kun sitä sovelletaan nestemassan (olipa se sitten ilmaa, vettä tai jotakin eksoottisempaa nestettä) liikkeeseen. Newtonin toisen lain mukaan:

Massa x kiihtyvyys = kappaleeseen vaikuttava voima

Nesteen osalta ”massa” on nestekappaleen massa; ”kiihtyvyys” on tietyn nestehiukkasen kiihtyvyys; ”kappaleeseen vaikuttavat voimat” ovat nesteeseemme vaikuttavat kokonaisvoimat.

Menemättä täydellisiin yksityiskohtiin voidaan tässä todeta, että Newtonin toinen laki tuottaa differentiaaliyhtälöiden järjestelmän, joka liittää nesteen nopeuden muutosnopeudet nesteeseen vaikuttaviin voimiin. Tarvitsemme vielä yhden fysikaalisen rajoituksen, jota sovelletaan nesteeseemme ja joka voidaan yksinkertaisimmillaan todeta seuraavasti:

Massa säilyy! – ts. neste ei ilmesty eikä katoa systeemistämme.

Ratkaisu

Kun tiedämme, mitä Navier-Stokesin yhtälöt ovat, voimme keskustella siitä, miksi Millennium-palkinnon ratkaisu on niin tärkeä. Palkinto-ongelma voidaan jakaa kahteen osaan. Ensimmäinen keskittyy yhtälöiden ratkaisujen olemassaoloon. Toisessa keskitytään siihen, ovatko nämä ratkaisut rajattuja (pysyvätkö ne rajallisina).

Ei ole mahdollista antaa tarkkaa matemaattista kuvausta näistä kahdesta osasta, joten yritän sijoittaa ongelman kaksi osaa fysikaaliseen kontekstiin.

1) Jotta matemaattinen malli, olkoon se kuinka monimutkainen tahansa, voisi kuvata fysikaalista maailmaa, jota yritämme ymmärtää, mallilla täytyy ensin olla ratkaisuja.

Ensi silmäyksellä tämä vaikuttaa hieman oudolta väitteeltä – miksi tutkia yhtälöitä, jos emme ole varmoja, että niillä on ratkaisuja? Käytännössä tunnemme monia ratkaisuja, jotka antavat erinomaisen yhteisymmärryksen monien fysikaalisesti merkityksellisten ja tärkeiden nestevirtojen kanssa.

Mutta nämä ratkaisut ovat approksimaatioita täydellisten Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisuille (approksimaatio johtuu siitä, että yksinkertaisia matemaattisia kaavoja ei yleensä ole saatavilla – meidän on turvauduttava yhtälöiden ratkaisemiseen tietokoneella käyttäen numeerisia approksimaatioita).

Vaikka olemme hyvin varmoja, että (likimääräiset) ratkaisumme ovat oikeita, muodollinen matemaattinen todiste ratkaisujen olemassaolosta puuttuu. Tämä on ensimmäinen osa Millennium-palkinnon haasteesta.

2) Toisessa osassa kysytään, voivatko Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisut muuttua singulaarisiksi (tai kasvaa rajattomasti).

Tämänkin selittämiseen tarvitaan paljon matematiikkaa. Mutta voimme tutkia, miksi tämä on tärkeä kysymys.

On vanha sanonta, että ”luonto inhoaa tyhjiötä”. Tällä on nykyaikainen vastine fyysikko Stephen Hawkingin mustiin aukkoihin viitaten esittämässä väitteessä, että ”luonto kammoaa alastonta singulariteettia”. Singulariteetti viittaa tässä tapauksessa pisteeseen, jossa gravitaatiovoimat – jotka vetävät esineitä kohti mustaa aukkoa – näyttävät (nykyisten teorioiden mukaan) muuttuvan äärettömiksi.

Navier-Stokesin yhtälöiden yhteydessä ja uskomuksessamme siitä, että ne kuvaavat nesteiden liikettä monenlaisissa olosuhteissa, singulariteetti osoittaisi, että meiltä on saattanut jäädä huomaamatta jotain tärkeää, vielä tuntematonta fysiikkaa. Miksi? Koska matematiikka ei käsittele äärettömyyksiä.

Nestemekaniikan historia on täynnä Navier-Stokesin yhtälöiden yksinkertaistettujen versioiden ratkaisuja, jotka tuottavat singulaarisia ratkaisuja. Tällaisissa tapauksissa singulaariset ratkaisut ovat usein vihjanneet jostain uudesta fysiikasta, jota ei ole aiemmin otettu huomioon yksinkertaistetuissa malleissa.

Tämän uuden fysiikan tunnistaminen on mahdollistanut sen, että tutkijat ovat voineet tarkentaa matemaattisia mallejaan ja siten parantaa mallin ja todellisuuden välistä vastaavuutta.

Jos, kuten monet uskovat, Navier-Stokesin yhtälöillä on singulaarisia ratkaisuja, niin ehkäpä seuraava Millennium-palkinto menee henkilölle, joka keksii, mitä uutta fysiikkaa tarvitaan singulariteetin poistamiseksi.

Silloin luonto voi, kuten kaikki fluidimekaanikot jo tekevät, iloita Claude-Louis Navierin ja George Gabriel Stokesin meille luovuttamista yhtälöistä.

Tämä on vuosituhannen vaihteen palkintosarjan ensimmäinen osa. Voit lukea muut osat alla olevien linkkien kautta.

• Kakkososa: Millennium-palkinto: Hodge-epäily
• Kolmas osa: Millennium-palkinto: P vs NP