Serie de Premios del Milenio: Los Problemas del Premio del Milenio son siete problemas matemáticos planteados por el Instituto de Matemáticas Clay en el año 2000. No son fáciles: la solución correcta de cualquiera de ellos da lugar a un premio de 1.000.000 de dólares otorgado por el instituto.

El matemático ruso Grigori Perelman recibió el premio el 18 de marzo del año pasado por resolver uno de los problemas, la conjetura de Poincaré, que es el único que se ha resuelto hasta ahora. En las próximas semanas, expertos de las instituciones miembros del Instituto Australiano de Ciencias Matemáticas (AMSI) explicarán cada uno de estos problemas.

Aquí el profesor Jim Denier explica el problema de existencia y unicidad de Navier-Stokes. Disfruta.

Entre los siete problemas de matemáticas planteados por el Instituto de Matemáticas de Clay en el año 2000 hay uno que se relaciona de forma fundamental con nuestra comprensión del mundo físico en el que vivimos.

Se trata del problema de existencia y unicidad de Navier-Stokes, basado en ecuaciones escritas en el siglo XIX.

La solución de este problema premiado tendría un profundo impacto en nuestra comprensión del comportamiento de los fluidos que, por supuesto, son omnipresentes en la naturaleza. El aire y el agua son los fluidos más reconocibles; el modo en que se mueven y se comportan ha fascinado a científicos y matemáticos desde el nacimiento de la ciencia.

¿Pero qué son las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes? Qué es lo que describen?

Las ecuaciones

Para entender las ecuaciones de Navier-Stokes y su derivación necesitamos una considerable formación matemática y también una sólida comprensión de la física básica.

Sin eso, debemos recurrir a algunos fundamentos muy simples y hablar en términos de amplias generalidades – pero eso debería ser suficiente para dar al lector una idea de cómo llegamos a estas ecuaciones fundamentales, y la importancia de las preguntas.

A partir de ahora, me referiré a las ecuaciones de Navier-Stokes como «las ecuaciones».

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido se describen de forma más sencilla como un enunciado de la Segunda Ley del Movimiento de Newton, tal y como se aplica al movimiento de una masa de fluido (ya sea aire, agua o un fluido más exótico). La segunda ley de Newton establece que:

Masa x Aceleración = Fuerza que actúa sobre un cuerpo

Para un fluido la «masa» es la masa del cuerpo del fluido; la «aceleración» es la aceleración de una partícula particular del fluido; las «fuerzas que actúan sobre el cuerpo» son las fuerzas totales que actúan sobre nuestro fluido.

Sin entrar en todos los detalles, es posible afirmar aquí que la Segunda Ley de Newton produce un sistema de ecuaciones diferenciales que relacionan las tasas de cambio de la velocidad del fluido con las fuerzas que actúan sobre él. Requerimos que se aplique otra restricción física a nuestro fluido, que puede enunciarse de forma más sencilla como:

¡La masa se conserva! – es decir, el fluido no aparece ni desaparece de nuestro sistema.

La solución

Tener una idea de lo que son las ecuaciones de Navier-Stokes nos permite discutir por qué la solución del Premio del Milenio es tan importante. El problema del premio puede dividirse en dos partes. La primera se centra en la existencia de soluciones a las ecuaciones. La segunda se centra en si estas soluciones están acotadas (permanecen finitas).

No es posible dar una descripción matemática precisa de estos dos componentes, así que intentaré situar las dos partes del problema en un contexto físico.

1) Para que un modelo matemático, por complicado que sea, represente el mundo físico que intentamos comprender, el modelo debe tener primero soluciones.

A primera vista, esto parece una afirmación un poco extraña – ¿por qué estudiar ecuaciones si no estamos seguros de que tienen soluciones? En la práctica conocemos muchas soluciones que proporcionan una excelente concordancia con muchos flujos de fluidos físicamente relevantes e importantes.

Pero estas soluciones son aproximaciones a las soluciones de las ecuaciones completas de Navier-Stokes (la aproximación se debe a que, por lo general, no se dispone de fórmulas matemáticas sencillas – debemos recurrir a la resolución de las ecuaciones en un ordenador utilizando aproximaciones numéricas).

Aunque estamos muy seguros de que nuestras soluciones (aproximadas) son correctas, falta una prueba matemática formal de la existencia de soluciones. Eso proporciona la primera parte del desafío del Premio del Milenio.

2) La segunda parte pregunta si las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes pueden volverse singulares (o crecer sin límite).

De nuevo, se requiere mucha matemática para explicar esto. Pero podemos examinar por qué es una cuestión importante.

Hay un viejo dicho que dice que «la naturaleza aborrece el vacío». Esto tiene un paralelo moderno en la afirmación del físico Stephen Hawking, al referirse a los agujeros negros, de que «la naturaleza aborrece una singularidad desnuda». La singularidad, en este caso, se refiere al punto en el que las fuerzas gravitatorias -que tiran de los objetos hacia un agujero negro- parecen (según nuestras teorías actuales) volverse infinitas.

En el contexto de las ecuaciones de Navier-Stokes, y nuestra creencia de que describen el movimiento de los fluidos bajo una amplia gama de condiciones, una singularidad indicaría que podríamos haber pasado por alto alguna física importante, aún desconocida. ¿Por qué? Porque las matemáticas no se ocupan de los infinitos.

La historia de la mecánica de fluidos está salpicada de soluciones de versiones simplificadas de las ecuaciones de Navier-Stokes que producen soluciones singulares. En estos casos, las soluciones singulares han insinuado a menudo alguna física nueva no considerada previamente en los modelos simplificados.

La identificación de esta nueva física ha permitido a los investigadores perfeccionar sus modelos matemáticos y mejorar así la concordancia entre el modelo y la realidad.

Si, como muchos creen, las ecuaciones de Navier-Stokes poseen soluciones singulares, entonces tal vez el próximo Premio del Milenio sea para la persona que descubra qué nueva física se necesita para eliminar la singularidad.

Entonces la naturaleza podrá, como ya hacen todos los mecanicistas de fluidos, deleitarse con las ecuaciones que nos legaron Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes.

Esta es la primera parte de la serie del Premio del Milenio. Para leer las demás entregas, siga los siguientes enlaces.

• Segunda parte: Premio del Milenio: la conjetura de Hodge
• Tercera parte: Premio del Milenio: P vs NP