Serie di premi del millennio: I Millennium Prize Problems sono sette problemi matematici stabiliti dal Clay Mathematics Institute nel 2000. Non sono facili – la soluzione corretta di uno qualsiasi comporta l’assegnazione di un premio di 1.000.000 di dollari da parte dell’istituto.

Il matematico russo Grigori Perelman ha ricevuto il premio il 18 marzo scorso per aver risolto uno dei problemi, la congettura di Poincaré – finora l’unico problema risolto. Famosamente, ha rifiutato il Millennium Prize da 1.000.000 di dollari.

Nelle prossime settimane, ognuno di questi problemi sarà illuminato da esperti delle istituzioni membri dell’Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Qui il professor Jim Denier spiega il problema di esistenza e unicità di Navier-Stokes. Enjoy.

Tra i sette problemi di matematica proposti dal Clay Mathematics Institute nel 2000 ce n’è uno che riguarda in modo fondamentale la nostra comprensione del mondo fisico in cui viviamo.

È il problema di esistenza e unicità di Navier-Stokes, basato su equazioni scritte nel XIX secolo.

La soluzione di questo problema premio avrebbe un profondo impatto sulla nostra comprensione del comportamento dei fluidi che, naturalmente, sono onnipresenti in natura. L’aria e l’acqua sono i fluidi più riconoscibili; come si muovono e si comportano ha affascinato scienziati e matematici fin dalla nascita della scienza.

Ma cosa sono le cosiddette equazioni di Navier-Stokes? Cosa descrivono?

Le equazioni

Per capire le equazioni di Navier-Stokes e la loro derivazione abbiamo bisogno di una notevole preparazione matematica e anche di una buona comprensione della fisica di base.

Senza questo, dobbiamo attingere ad alcune basi molto semplici e parlare in termini di ampie generalità – ma questo dovrebbe essere sufficiente per dare al lettore un senso di come si arriva a queste equazioni fondamentali, e l’importanza delle domande.

Da questo punto, mi riferirò alle equazioni di Navier-Stokes come “le equazioni”.

Le equazioni che governano il moto di un fluido sono più semplicemente descritte come una dichiarazione della seconda legge del moto di Newton applicata al movimento di una massa di fluido (che sia aria, acqua o un fluido più esotico). La seconda legge di Newton afferma che:

Massa x Accelerazione = Forza che agisce su un corpo

Per un fluido la “massa” è la massa del corpo fluido; l'”accelerazione” è l’accelerazione di una particolare particella fluida; le “forze che agiscono sul corpo” sono le forze totali che agiscono sul nostro fluido.

Senza entrare nei dettagli, è possibile affermare qui che la seconda legge di Newton produce un sistema di equazioni differenziali che mettono in relazione i tassi di variazione della velocità del fluido con le forze che agiscono sul fluido. Abbiamo bisogno di un altro vincolo fisico da applicare al nostro fluido, che può essere più semplicemente enunciato come:

La massa è conservata! – cioè il fluido non appare né scompare dal nostro sistema.

La soluzione

Avere un’idea di cosa siano le equazioni di Navier-Stokes ci permette di discutere perché la soluzione del premio Millennium sia così importante. Il problema del premio può essere suddiviso in due parti. La prima si concentra sull’esistenza di soluzioni alle equazioni. La seconda si concentra sul fatto che queste soluzioni siano limitate (rimangano finite).

Non è possibile dare una precisa descrizione matematica di queste due componenti, quindi cercherò di collocare le due parti del problema in un contesto fisico.

1) Perché un modello matematico, per quanto complicato, rappresenti il mondo fisico che stiamo cercando di capire, il modello deve prima avere delle soluzioni.

A prima vista, questa sembra un’affermazione un po’ strana – perché studiare equazioni se non siamo sicuri che abbiano soluzioni? In pratica conosciamo molte soluzioni che forniscono un eccellente accordo con molti flussi di fluidi fisicamente rilevanti e importanti.

Ma queste soluzioni sono approssimazioni alle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes complete (l’approssimazione avviene perché non ci sono, di solito, formule matematiche semplici disponibili – dobbiamo ricorrere a risolvere le equazioni su un computer usando approssimazioni numeriche).

Anche se siamo molto sicuri che le nostre soluzioni (approssimate) siano corrette, manca una prova matematica formale dell’esistenza delle soluzioni. Questo fornisce la prima parte della sfida del Millennium Prize.

2) La seconda parte chiede se le soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes possono diventare singolari (o crescere senza limiti).

Ancora una volta, è necessaria molta matematica per spiegare questo. Ma possiamo esaminare perché questa è una questione importante.

C’è un vecchio detto che “la natura aborre il vuoto”. Questo ha un parallelo moderno nell’affermazione del fisico Stephen Hawking, riferendosi ai buchi neri, che “la natura aborre una singolarità nuda”. La singolarità, in questo caso, si riferisce al punto in cui le forze gravitazionali – che tirano gli oggetti verso un buco nero – sembrano (secondo le nostre attuali teorie) diventare infinite.

Nel contesto delle equazioni di Navier-Stokes, e della nostra convinzione che esse descrivano il movimento dei fluidi in un’ampia gamma di condizioni, una singolarità indicherebbe che potremmo aver mancato qualche importante, ancora sconosciuta, fisica. Perché? Perché la matematica non si occupa di infiniti.

La storia della meccanica dei fluidi è costellata di soluzioni di versioni semplificate delle equazioni di Navier-Stokes che danno soluzioni singolari. In questi casi, le soluzioni singolari hanno spesso suggerito qualche nuova fisica precedentemente non considerata nei modelli semplificati.

Identificare questa nuova fisica ha permesso ai ricercatori di perfezionare ulteriormente i loro modelli matematici e migliorare così l’accordo tra modello e realtà.

Se, come molti credono, le equazioni di Navier-Stokes possiedono soluzioni singolari, allora forse il prossimo premio del millennio andrà alla persona che scoprirà quale nuova fisica è necessaria per rimuovere la singolarità.

Allora la natura potrà, come già fanno tutti i meccanici dei fluidi, deliziarsi delle equazioni tramandateci da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes.

Questa è la prima parte della serie Millennium Prize. Per leggere le altre parti, segui i link qui sotto.

• Parte seconda: Premio del millennio: la congettura di Hodge
• Parte terza: Premio del millennio: P contro NP