MILLENNIUM PRIZE SERIES: Problémy ceny tisíciletí je sedm matematických problémů stanovených Clayovým matematickým institutem v roce 2000. Nejsou snadné – za správné řešení kteréhokoli z nich institut uděluje cenu ve výši 1 000 000 USD.
Ruský matematik Grigorij Perelman získal cenu 18. března loňského roku za vyřešení jednoho z problémů, Poincarého domněnky – zatím jediného vyřešeného problému. Známé je, že odmítl Cenu tisíciletí ve výši 1 000 000 dolarů.
V následujících týdnech budou každý z těchto problémů osvětlovat odborníci z členských institucí Australského institutu matematických věd (AMSI).
Tady profesor Jim Denier vysvětluje Navier-Stokesův problém existence a jednoznačnosti. Užijte si to.
Mezi sedmi matematickými problémy, které v roce 2000 předložil Clayův matematický institut, je i jeden, který se zásadním způsobem týká našeho chápání fyzikálního světa, v němž žijeme.
Jedná se o Navier-Stokesův problém existence a jedinečnosti, založený na rovnicích zapsaných v 19. století.
Řešení tohoto oceněného problému by mělo zásadní dopad na naše chápání chování tekutin, které jsou samozřejmě v přírodě všudypřítomné. Vzduch a voda jsou nejznámějšími kapalinami; to, jak se pohybují a chovají, fascinuje vědce a matematiky od vzniku vědy.
Ale co jsou takzvané Navierovy-Stokesovy rovnice? Co popisují?
Rovnice
K pochopení Navierových-Stokesových rovnic a jejich odvození potřebujeme značné matematické vzdělání a také dobrou znalost základů fyziky.
Bez toho musíme vycházet z velmi jednoduchých základů a mluvit v termínech širokého zobecnění – to by však mělo stačit k tomu, aby čtenář pochopil, jak jsme k těmto základním rovnicím dospěli a jaký význam tyto otázky mají.
Od této chvíle budu Navierovým-Stokesovým rovnicím říkat „rovnice“.
Rovnice, jimiž se řídí pohyb tekutiny, lze nejjednodušeji popsat jako vyjádření druhého Newtonova pohybového zákona, který platí pro pohyb hmoty tekutiny (ať už je to vzduch, voda nebo exotičtější tekutina). Druhý Newtonův zákon říká, že:
Hmotnost x zrychlení = síla působící na těleso
Pro tekutinu je „hmotnost“ hmotnost tělesa; „zrychlení“ je zrychlení konkrétní částice tekutiny; „síly působící na těleso“ jsou celkové síly působící na naši tekutinu.
Aniž bychom zacházeli do úplných podrobností, můžeme zde konstatovat, že druhý Newtonův zákon vytváří soustavu diferenciálních rovnic vztahujících rychlosti změn rychlosti tekutiny k silám působícím na tekutinu. Požadujeme, aby na naši tekutinu platilo ještě jedno fyzikální omezení, které lze nejjednodušeji vyjádřit takto:
Hmotnost se zachovává! – Tj. tekutina se v naší soustavě ani neobjevuje, ani nemizí.
Řešení
Máme-li představu o tom, co jsou Navierovy-Stokesovy rovnice, můžeme diskutovat o tom, proč je řešení Ceny tisíciletí tak důležité. Problém ceny lze rozdělit na dvě části. První se zaměřuje na existenci řešení rovnic. Druhá se zaměřuje na to, zda jsou tato řešení omezená (zůstávají konečná).
Není možné podat přesný matematický popis těchto dvou složek, proto se pokusím zasadit obě části problému do fyzikálního kontextu.
1) Aby matematický model, jakkoli složitý, mohl reprezentovat fyzikální svět, který se snažíme pochopit, musí mít nejprve řešení.
Na první pohled se toto tvrzení zdá poněkud zvláštní – proč studovat rovnice, když si nejsme jisti, že mají řešení? V praxi známe mnoho řešení, která poskytují vynikající shodu s mnoha fyzikálně relevantními a důležitými toky tekutin.
Tato řešení jsou však aproximacemi řešení úplných Navierových-Stokesových rovnic (aproximace vzniká proto, že obvykle nejsou k dispozici jednoduché matematické vzorce – musíme se uchýlit k řešení rovnic na počítači pomocí numerických aproximací).
Ačkoli jsme si velmi jisti, že naše (přibližná) řešení jsou správná, formální matematický důkaz existence řešení chybí. To poskytuje první část úkolu Ceny tisíciletí.
2) Druhá část se ptá, zda se řešení Navierových-Stokesových rovnic mohou stát singulárními (nebo zda mohou růst bez omezení).
K vysvětlení tohoto problému je opět zapotřebí mnoho matematiky. Můžeme však zkoumat, proč je to důležitá otázka.
Existuje staré rčení, že „příroda nesnáší vakuum“. To má moderní paralelu v tvrzení fyzika Stephena Hawkinga, když mluvil o černých dírách, že „příroda nesnáší holou singularitu“. Singularita v tomto případě označuje bod, v němž se gravitační síly – přitahující objekty k černé díře – zdají být (podle našich současných teorií) nekonečné.
V kontextu Navierových-Stokesových rovnic a našeho přesvědčení, že popisují pohyb tekutin v širokém rozsahu podmínek, by singularita naznačovala, že jsme možná přehlédli nějaké důležité, dosud neznámé fyzikální jevy. Proč? Protože matematika se nezabývá nekonečnem.
Historie mechaniky tekutin je prošpikována řešeními zjednodušených verzí Navierových-Stokesových rovnic, které dávají singulární řešení. V takových případech singulární řešení často naznačila nějakou novou fyziku, kterou zjednodušené modely dříve neuvažovaly.
Identifikace této nové fyziky umožnila vědcům dále zpřesnit jejich matematické modely a zlepšit tak shodu mezi modelem a skutečností.
Jestliže, jak se mnozí domnívají, Navierovy-Stokesovy rovnice skutečně mají singulární řešení, pak možná příští cenu tisíciletí získá ten, kdo objeví, jaká nová fyzika je nutná k odstranění singularity.
Pak se může příroda, jak to již dělají všichni mechanici tekutin, potěšit rovnicemi, které nám předali Claude-Louis Navier a George Gabriel Stokes.
Toto je první díl seriálu o Ceně tisíciletí. Další díly si můžete přečíst na níže uvedených odkazech.
- Díl druhý: Cena tisíciletí: Hodgeova domněnka
- Díl třetí: Cena tisíciletí: P versus NP
Třetí část: Milostná věta: P versus NP