MILLENNIUMPRIZE-SERIE: De Millennium Prize Problems zijn zeven wiskundeproblemen die in 2000 door het Clay Mathematics Institute zijn opgesteld. Ze zijn niet gemakkelijk – een correcte oplossing van een ervan resulteert in een prijs van 1.000.000 dollar die door het instituut wordt toegekend.

De Russische wiskundige Grigori Perelman kreeg de prijs op 18 maart vorig jaar voor het oplossen van een van de problemen, de Poincaré conjectuur – tot nu toe het enige probleem dat is opgelost. Beroemd genoeg wees hij de Millenniumprijs van $1.000.000 af.

De komende weken zal elk van deze problemen worden belicht door deskundigen van de bij het Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI) aangesloten instellingen.

Hier legt professor Jim Denier het Navier-Stokes existentie- en uniciteitsprobleem uit. Geniet.

Tot de zeven problemen in de wiskunde die in 2000 door het Clay Mathematics Institute naar voren zijn gebracht, behoort er een die op fundamentele wijze verband houdt met ons begrip van de fysieke wereld waarin wij leven.

Het gaat om het existentie- en uniciteitsprobleem van Navier-Stokes, dat gebaseerd is op vergelijkingen die in de 19e eeuw zijn opgeschreven.

De oplossing van dit prijsvraagstuk zou van grote invloed zijn op ons begrip van het gedrag van vloeistoffen, die natuurlijk alomtegenwoordig zijn in de natuur. Lucht en water zijn de meest herkenbare vloeistoffen; hoe zij bewegen en zich gedragen heeft wetenschappers en wiskundigen gefascineerd sinds het ontstaan van de wetenschap.

Maar wat zijn de zogenaamde Navier-Stokes vergelijkingen? Wat beschrijven ze?

De vergelijkingen

Om de Navier-Stokes vergelijkingen en hun afleiding te begrijpen is een behoorlijke wiskundige opleiding nodig en tevens een goed begrip van de basis natuurkunde.

Zonder dat, moeten wij ons baseren op enkele zeer eenvoudige grondbeginselen en spreken in termen van brede algemeenheden – maar dat zou voldoende moeten zijn om de lezer een gevoel te geven van hoe wij tot deze fundamentele vergelijkingen komen, en van het belang van de vragen.

Van nu af aan zal ik naar de Navier-Stokes vergelijkingen verwijzen als “de vergelijkingen”.

De vergelijkingen die de beweging van een vloeistof regelen, zijn het eenvoudigst te omschrijven als een verklaring van de tweede bewegingswet van Newton zoals die geldt voor de beweging van een massa vloeistof (of dat nu lucht, water of een meer exotische vloeistof is). De tweede wet van Newton stelt dat:

Massa x Versnelling = Kracht die op een lichaam werkt

Voor een vloeistof is de “massa” de massa van het vloeistoflichaam; de “versnelling” is de versnelling van een bepaald vloeistofdeeltje; de “krachten die op het lichaam werken” zijn de totale krachten die op onze vloeistof werken.

Zonder in detail te treden, kan hier worden gesteld dat de tweede wet van Newton een stelsel differentiaalvergelijkingen oplevert die de snelheid van verandering van de vloeistofsnelheid relateert aan de krachten die op de vloeistof werken. Er moet nog een andere fysische beperking op onze vloeistof worden toegepast, die het eenvoudigst kan worden gesteld als:

Massa blijft behouden! – D.w.z. vloeistof verschijnt noch verdwijnt uit ons systeem.

De oplossing

Wanneer we weten wat de Navier-Stokes vergelijkingen zijn, kunnen we bespreken waarom de oplossing van de Millenniumprijs zo belangrijk is. Het probleem van de prijs kan in twee delen worden gesplitst. Het eerste richt zich op het bestaan van oplossingen voor de vergelijkingen. Het tweede richt zich op de vraag of deze oplossingen begrensd zijn (eindig blijven).

Het is niet mogelijk een precieze wiskundige beschrijving van deze twee onderdelen te geven, dus zal ik proberen de twee delen van het probleem in een natuurkundige context te plaatsen.

1) Wil een wiskundig model, hoe ingewikkeld ook, de fysische wereld die we proberen te begrijpen kunnen weergeven, dan moet het model eerst oplossingen hebben.

Op het eerste gezicht lijkt dit een ietwat vreemde uitspraak – waarom vergelijkingen bestuderen als we niet zeker weten dat ze oplossingen hebben? In de praktijk kennen we vele oplossingen die een uitstekende overeenkomst bieden met vele fysisch relevante en belangrijke vloeistofstromingen.

Maar deze oplossingen zijn benaderingen van de oplossingen van de volledige Navier-Stokes vergelijkingen (de benadering ontstaat omdat er meestal geen eenvoudige wiskundige formules beschikbaar zijn – we moeten onze toevlucht nemen tot het oplossen van de vergelijkingen op een computer met behulp van numerieke benaderingen).

Hoewel we er veel vertrouwen in hebben dat onze (benaderende) oplossingen correct zijn, ontbreekt een formeel wiskundig bewijs voor het bestaan van de oplossingen. Dat is het eerste deel van de uitdaging van de Millenniumprijs.

2) Het tweede deel vraagt of de oplossingen van de Navier-Stokes vergelijkingen singulier kunnen worden (of onbeperkt kunnen groeien).

Opnieuw is er veel wiskunde nodig om dit te verklaren. Maar we kunnen onderzoeken waarom dit een belangrijke vraag is.

Er is een oud gezegde dat luidt: “de natuur verafschuwt een vacuüm”. Dit heeft een moderne parallel in de bewering van natuurkundige Stephen Hawking, verwijzend naar zwarte gaten, dat “de natuur een naakte singulariteit verafschuwt”. Singulariteit, in dit geval, verwijst naar het punt waarop de gravitatiekrachten – die voorwerpen naar een zwart gat trekken – (volgens onze huidige theorieën) oneindig lijken te worden.

In de context van de Navier-Stokes vergelijkingen, en onze overtuiging dat deze de beweging van vloeistoffen onder een groot aantal omstandigheden beschrijven, zou een singulariteit erop wijzen dat we wellicht een aantal belangrijke, nog onbekende, fysica hebben gemist. Waarom? Omdat wiskunde niet in oneindigheden handelt.

De geschiedenis van de vloeistofmechanica is doorspekt met oplossingen van vereenvoudigde versies van de Navier-Stokes vergelijkingen die singuliere oplossingen opleveren. In dergelijke gevallen hebben de singuliere oplossingen vaak nieuwe natuurkundige inzichten opgeleverd, die in de vereenvoudigde modellen niet in aanmerking waren genomen.

Het identificeren van deze nieuwe fysica heeft onderzoekers in staat gesteld hun wiskundige modellen verder te verfijnen en zo de overeenkomst tussen model en werkelijkheid te verbeteren.

Als, zoals velen denken, de Navier-Stokes vergelijkingen inderdaad singuliere oplossingen bezitten, dan gaat de volgende Millenniumprijs misschien naar degene die ontdekt welke nieuwe fysica nodig is om de singulariteit te verwijderen.

Dan kan de natuur, zoals alle vloeistofmechanici al doen, zich gaan verheugen in de vergelijkingen die ons zijn overgeleverd door Claude-Louis Navier en George Gabriel Stokes.

Dit is het eerste deel van de Millennium Prijs Serie. Om de andere delen te lezen, volg de links hieronder.

• Deel twee: Millennium Prijs: de Hodge Conjectuur
• Deel drie: Millennium Prijs: P vs NP