MILLENNIUM PRIZE SERIES: The Millennium Prize Problems to siedem problemów matematycznych ułożonych przez Clay Mathematics Institute w 2000 roku. Nie są one łatwe – poprawne rozwiązanie któregokolwiek z nich skutkuje przyznaniem przez instytut nagrody w wysokości 1 000 000 USD.
Rosyjski matematyk Grigorij Perelman otrzymał nagrodę 18 marca ubiegłego roku za rozwiązanie jednego z problemów, domysłu Poincarégo – jak dotąd jedynego problemu, który został rozwiązany. Jak wiadomo, odrzucił on nagrodę milenijną w wysokości 1 000 000 dolarów.
W ciągu najbliższych tygodni każdy z tych problemów zostanie naświetlony przez ekspertów z instytucji członkowskich Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).
Tutaj profesor Jim Denier wyjaśnia problem istnienia i jednoznaczności Naviera-Stokesa. Enjoy.
Wśród siedmiu problemów w matematyce przedstawionych przez Clay Mathematics Institute w 2000 roku jest jeden, który odnosi się w fundamentalny sposób do naszego zrozumienia świata fizycznego, w którym żyjemy.
Jest to problem istnienia i niepowtarzalności Naviera-Stokesa, oparty na równaniach zapisanych w XIX wieku.
Rozwiązanie tego nagrodzonego problemu miałoby głęboki wpływ na nasze zrozumienie zachowania płynów, które oczywiście są wszechobecne w przyrodzie. Powietrze i woda są najbardziej rozpoznawalnymi cieczami; to, jak się poruszają i zachowują, fascynowało naukowców i matematyków od narodzin nauki.
Ale czym są tak zwane równania Naviera-Stokesa? Co one opisują?
Równania
Aby zrozumieć równania Naviera-Stokesa i ich wyprowadzenie, potrzebujemy znacznego wykształcenia matematycznego, a także solidnego zrozumienia podstaw fizyki.
Bez tego, musimy czerpać z bardzo prostych podstaw i mówić w kategoriach szerokich ogólników – ale to powinno wystarczyć, aby dać czytelnikowi poczucie, jak dochodzimy do tych fundamentalnych równań, i znaczenie pytań.
Od tego momentu, będę odnosił się do równań Naviera-Stokesa jako „równań”.
Równania rządzące ruchem płynu są najprościej opisane jako stwierdzenie Drugiego Prawa Ruchu Newtona, jak to ma zastosowanie do ruchu masy płynu (czy to będzie powietrze, woda lub bardziej egzotyczny płyn). Drugie prawo Newtona stwierdza, że:
Masa x Przyspieszenie = Siła działająca na ciało
W przypadku płynu „masa” to masa ciała płynu; „przyspieszenie” to przyspieszenie konkretnej cząstki płynu; „siły działające na ciało” to całkowite siły działające na nasz płyn.
Bez wchodzenia w szczegóły, można tutaj stwierdzić, że Drugie Prawo Newtona tworzy układ równań różniczkowych odnoszących szybkość zmian prędkości płynu do sił działających na płyn. Wymagamy jeszcze jednego ograniczenia fizycznego, które musi być przyłożone do naszego płynu, a które najprościej można określić jako:
Masa jest zachowana! – tzn. płyn ani nie pojawia się, ani nie znika z naszego układu.
Rozwiązanie
Zrozumienie, czym są równania Naviera-Stokesa, pozwala nam omówić, dlaczego rozwiązanie problemu Nagrody Milenijnej jest tak ważne. Problem nagrody może być podzielony na dwie części. Pierwsza z nich koncentruje się na istnieniu rozwiązań równań. Druga koncentruje się na tym, czy te rozwiązania są związane (pozostają skończone).
Nie jest możliwe podanie dokładnego matematycznego opisu tych dwóch składników, więc spróbuję umieścić te dwie części problemu w kontekście fizycznym.
1) Aby model matematyczny, jakkolwiek skomplikowany, mógł reprezentować świat fizyczny, który próbujemy zrozumieć, musi on najpierw mieć rozwiązania.
Na pierwszy rzut oka wydaje się to nieco dziwnym stwierdzeniem – po co badać równania, jeśli nie jesteśmy pewni, że mają one rozwiązania? W praktyce znamy wiele rozwiązań, które zapewniają doskonałą zgodność z wieloma fizycznie istotnymi i ważnymi przepływami płynów.
Ale te rozwiązania są przybliżeniami do rozwiązań pełnych równań Naviera-Stokesa (przybliżenie wynika z tego, że zazwyczaj nie są dostępne proste wzory matematyczne – musimy uciekać się do rozwiązywania równań na komputerze przy użyciu przybliżeń numerycznych).
Ale chociaż jesteśmy bardzo pewni, że nasze (przybliżone) rozwiązania są poprawne, brakuje nam formalnego matematycznego dowodu istnienia rozwiązań. To stanowi pierwszą część wyzwania związanego z Nagrodą Milenijną.
2) W drugiej części pytamy, czy rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą stać się osobliwe (lub rosnąć bez ograniczeń).
Znowu, dużo matematyki jest wymagane, aby to wyjaśnić. Ale możemy zbadać, dlaczego jest to ważne pytanie.
Stare powiedzenie mówi, że „natura nie znosi próżni”. Ma to swój współczesny odpowiednik w twierdzeniu fizyka Stephena Hawkinga, odnoszącym się do czarnych dziur, „natura nie znosi nagiej osobliwości”. Osobliwość, w tym przypadku, odnosi się do punktu, w którym siły grawitacyjne – ciągnące obiekty w kierunku czarnej dziury – wydają się (zgodnie z naszymi obecnymi teoriami) stawać nieskończone.
W kontekście równań Naviera-Stokesa i naszego przekonania, że opisują one ruch płynów w szerokim zakresie warunków, osobliwość wskazywałaby, że mogliśmy przegapić jakąś ważną, jeszcze nieznaną fizykę. Dlaczego? Bo matematyka nie zajmuje się nieskończonościami.
Historia mechaniki płynów jest usiana rozwiązaniami uproszczonych wersji równań Naviera-Stokesa, które dają rozwiązania osobliwe. W takich przypadkach pojedyncze rozwiązania często wskazywały na jakąś nową fizykę, która wcześniej nie była brana pod uwagę w uproszczonych modelach.
Zidentyfikowanie tej nowej fizyki pozwoliło badaczom na dalsze udoskonalenie ich modeli matematycznych, a tym samym na poprawę zgodności między modelem a rzeczywistością.
Jeśli, jak wielu wierzy, równania Naviera-Stokesa mają pojedyncze rozwiązania to być może następna nagroda milenijna zostanie przyznana osobie, która odkryje, jaka nowa fizyka jest wymagana do usunięcia osobliwości.
Wtedy natura będzie mogła, jak wszyscy mechanicy płynów już to robią, zachwycić się równaniami przekazanymi nam przez Claude-Louis Naviera i George’a Gabriela Stokesa.
Jest to pierwsza część serii Nagród Milenijnych. Aby przeczytać pozostałe części, skorzystaj z poniższych linków.
- Część druga: Nagroda Milenijna: Koncepcja Hodge’a
- Część trzecia: Millenium Prize: P vs NP