Pi hat also mit Kreisen zu tun, richtig? Man kann Pi auf verschiedene Arten definieren, die nicht offensichtlich mit Kreisen zu tun haben, aber letztendlich macht es am meisten Sinn, wenn man sagt, dass es das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist, oder die Hälfte des Umfangs eines Kreises mit Radius 1. Lassen Sie mich versuchen, Ihnen eine andere Perspektive auf Umfang und Kreise zu geben. Irgendwann läuft das alles nur noch auf „weil sich Kreise in der euklidischen Geometrie so verhalten“ hinaus.

Das klingt bisher nicht sehr hilfreich. Warum sollte die Hälfte des Umfangs eines Einheitskreises diese seltsame Zahl sein? Nun, gehen wir einmal in die Eingeweide der Mathematik und fragen, was ein Einheitskreis eigentlich ist. Es ist die Sammlung von Punkten, die genau den Abstand 1 von einem festen Punkt, sagen wir (0,0), haben. Okay, aber was bedeutet „Abstand“ wirklich? Hier wird es interessant. In der gewöhnlichen euklidischen Geometrie messen wir den Abstand zwischen (x1,y1) und (x2,y2) als ^(1/2), da dies in etwa unserer intuitiven Vorstellung von Abstand in der realen Welt zu entsprechen scheint. Aber was machen diese 2en da drin? Müssen sie dort sein? Der einzige offensichtliche Grund, die Dinge zu quadrieren, ist, um sicherzustellen, dass der Abstand immer positiv ist, und sicherlich gibt es andere Möglichkeiten, das zu tun, die andere vernünftige Vorstellungen von „Abstand“ ergeben könnten, die mit ihrer eigenen Version des Einheitskreises und damit ihrer eigenen Version von Pi ausgestattet sind…

So funktionieren viele Dinge in der Mathematik. Man beginnt mit etwas, das man kennt, versucht, es zu einer abstrakteren Version zu verallgemeinern, und fängt dann an, an den Teilen herumzufummeln, um zu sehen, was passiert. Wie könnten wir sonst sicherstellen, dass „Abstand“ immer eine positive Zahl ist, wenn nicht durch Quadrieren? Durch den absoluten Wert, natürlich! Was wäre, wenn man den Abstand zwischen (x1,y2) und (x2,y2) als |x1-x2|+|y1-y2| definiert? Der Einheitskreis wird zu „Punkten (x,y) mit |x-0|+|y-0|=1“, oder „Punkten (x,y) mit |x|+|y|=1“. Das ist eine Raute! Plötzlich hat unser Einheits „kreis“ vier Punkte bei (±1,0) und (0,±1), die durch Linien der Länge sqrt(2) verbunden sind, und wir erhalten einen anderen Wert von „pi“! Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist in diesem Fall nicht 3,14159… sondern 2*sqrt(2), oder 2,82843…

Wie können wir unseren üblichen Begriff des Abstands, ^(1/2), mit diesem neuen Begriff verbinden? Wir schreiben ihn einfach als ^(1/p). Der übliche Begriff der Entfernung ist der Fall p=2, und der neue, den wir gerade erfunden haben, ist der Fall p=1. (Machen Sie sich keine Gedanken darüber, warum ich den Buchstaben p gewählt habe, um dies darzustellen, aber es war nicht willkürlich.) Jetzt kommen wir weiter.

Was passiert bei anderen Werten von p? Es stellt sich heraus, dass man so etwas wie das hier erhält. Der Einheitskreis in dieser p-bewerteten Version des Abstands beginnt als Raute mit den Punkten (±1,0) und (0,±1), und wenn p zunimmt, beginnt er sich langsam abzurunden und auszudehnen, als wäre er ein Luftballon, der aufgeblasen wird. Bei p=2 bildet sie einen Kreis, und für immer höhere Werte von p beginnt sie, eher wie ein Quadrat mit abgerundeten Ecken auszusehen. Die Ecken werden mit zunehmendem p immer schärfer, und es stellt sich heraus, dass es eine einfache Möglichkeit gibt, den Fall „p=unendlich“ so zu definieren, dass der Einheitskreis ein Quadrat mit den Punkten (±1,±1) ist. (Alles, was man tun muss, ist, den „Abstand“ entweder als |x1-x2| oder |y1-y2| zu definieren, je nachdem, welche Zahl größer ist.) In dieser letzten unendlichen Version ist zu beachten, dass die Einheit „Kreis“ einen „Umfang“ von 8 und einen Durchmesser von 2 hat, so dass „pi“ in diesem Zusammenhang genau 4 wäre. Man kann sogar Werte für p zwischen 0 und 1 verwenden, und die Einheit „Kreis“ beginnt wieder zu schrumpfen und eine Form wie ein vierzackiger Stern zu bilden, mit den Punkten immer noch bei (±1,0) und (0,±1), aber die Seiten, die sie verbinden, biegen sich immer stärker nach innen.

Das ist sehr cool. Je nachdem, welchen Wert von p du wählst, um „Abstand“ in der Koordinatenebene zu definieren, erhältst du einen anderen Wert von „pi“, dem Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, beginnend mit 2,82843… bei p=1, ansteigend auf 3,14159… bei p=2, und so weiter, jedes Mal ein bisschen mehr ansteigend, wenn du p erhöhst und immer näher an 4 kommst.